円に内接する4角形の対角の和

\(\Rightarrow\)

反時計回りに4角形\(ABCD\)をとる。
円周角の定理より、
\begin{align*} \angle DAB & =\frac{1}{2}\angle DOB\\ & =\frac{1}{2}\left(2\pi-\angle BOD\right)\\ & =\pi-\frac{1}{2}\angle BOD\\ & =\pi-\angle BCD \end{align*} となるので
\[ \angle DAB+\angle BCD=\pi \] となる。
また、\(\angle ABC+\angle CDA=\pi\)も同様に成り立つ。
故に題意は成り立つ。

\(\Leftarrow\)

反時計回りに4角形\(ABCD\)をとる。
対角の和が\(180^{\circ}\)なので\(\angle BCD=\pi-\angle DAB\)となる。
3角形\(DAB\)には中心\(J\)の外接円\(J\)がある。
このとき弧\(BD\)上に点\(C'\)をとると、\(\angle BC'D=\pi-\angle DAB=\angle BCD\)となる。
従って円周角の定理の逆より、\(C\)も外接円\(J\)上にあるので\(A,B,C,D\)は円\(J\)上にある。
故に題意は成り立つ。