(1)行列

\(K\)上で\(m\times n\)行列\(A\)は\(A:K^{n}\rightarrow K^{m}\)となる線形写像となる。
線形写像になることを示す。
加法性については、
\begin{align*} \left(A\left(\boldsymbol{x}+\boldsymbol{y}\right)\right)_{i} & =\sum_{k=1}^{n}A_{i,k}\left(\boldsymbol{x}+\boldsymbol{y}\right)_{k}\\ & =\sum_{k=1}^{n}A_{i,k}\left(\left(\boldsymbol{x}\right)_{k}+\left(\boldsymbol{y}\right)_{k}\right)\\ & =\sum_{k=1}^{n}A_{i,k}\left(\boldsymbol{x}\right)_{k}+\sum_{k=1}^{n}A_{i,k}\left(\boldsymbol{y}\right)_{k}\\ & =\left(A\boldsymbol{x}\right)_{i}+\left(A\boldsymbol{y}\right)_{i}\\ & =\left(A\boldsymbol{x}+A\boldsymbol{y}\right)_{i} \end{align*} となるので\(A\left(\boldsymbol{x}+\boldsymbol{y}\right)=A\boldsymbol{x}+A\boldsymbol{y}\)となり加法性を満たす。
斉1次性については
\begin{align*} \left(A\left(k\boldsymbol{x}\right)\right)_{i} & =\sum_{k=1}^{n}A_{i,k}\left(k\boldsymbol{x}\right)_{k}\\ & =k\sum_{k=1}^{n}A_{i,k}\left(\boldsymbol{x}\right)_{k}\\ & =k\left(A\left(\boldsymbol{x}\right)\right)_{i} \end{align*} となるので\(A\left(k\boldsymbol{x}\right)=kA\left(\boldsymbol{x}\right)\)となり斉1次性を満たす。
従って、加法性・斉1次性を満たすので、線形写像になる。

(2)包含写像

\(K\)上のベクトル空間\(V\)があり、部分空間を\(A\)として包含写像を\(i:A\rightarrow V,x\mapsto x\)とする。
このとき、任意の\(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\in A,k\in K\)について、
\begin{align*} i\left(\boldsymbol{x}+\boldsymbol{y}\right) & =\boldsymbol{x}+\boldsymbol{y}\\ & =i\left(\boldsymbol{x}\right)+i\left(\boldsymbol{y}\right) \end{align*} \begin{align*} i\left(kx\right) & =kx\\ & =ki\left(x\right) \end{align*} となるので、\(i\)は線形写像となる。

(3)代入写像

\(K\)係数多項式\(K\left[x\right]\)は\(K\)上のベクトル空間になり、任意の元\(a\in K\)をとり、代入写像を\(\phi_{a}:K\left[x\right]\rightarrow K,f\left(x\right)\mapsto\phi_{a}\left(f\left(x\right)\right)=f\left(a\right)\)とする。
このとき、任意の元\(f,g\in K\left[x\right],k\in K\)について、
\begin{align*} \phi_{a}\left(f\left(x\right)+g\left(x\right)\right) & =\phi_{a}\left(\left(f+g\right)\left(x\right)\right)\\ & =\left(f+g\right)\left(a\right)\\ & =f\left(a\right)+g\left(a\right)\\ & =\phi_{a}\left(f\left(x\right)\right)+\phi_{a}\left(g\left(x\right)\right) \end{align*} \begin{align*} \phi_{a}\left(kf\left(x\right)\right) & =\phi_{a}\left(\left(kf\right)\left(x\right)\right)\\ & =\left(kf\right)\left(a\right)\\ & =kf\left(a\right)\\ & =k\phi_{a}\left(f\left(x\right)\right) \end{align*} となるので\(\phi_{a}\)は線形写像となる。
また、終域\(K\)の任意の元\(c\in K\)について、始域の元として定値多項式\(c\in K\left[x\right]\)をとれば\(\phi_{a}\left(c\right)=c\)となるので\(\phi_{a}\)は全射となる。

(4)シフト作用素

\(K\)の元を並べた数列の集合\(\ell\left(K\right)\)は\(K\)上のベクトル空間となり、変換を
\[ f_{L}:\ell\left(K\right)\rightarrow\ell\left(K\right),\left(a_{1},a_{2},\cdots\right)\mapsto\left(a_{2},a_{3},\cdots\right) \] \[ f_{R}:\ell\left(K\right)\rightarrow\ell\left(K\right),\left(a_{1},a_{2},\cdots\right)\mapsto\left(0,a_{1},a_{2},\cdots\right) \] と定める。
このとき、任意の元\(\left(a_{k}\right)_{k\in\mathbb{N}},\left(b_{k}\right)_{k\in\mathbb{N}}\in\ell\left(K\right),k\in K\)について、
\begin{align*} f_{L}\left(\left(a_{k}\right)_{k\in\mathbb{N}}+\left(b_{k}\right)_{k\in\mathbb{N}}\right) & =f_{L}\left(\left(a_{k}+b_{k}\right)_{k\in\mathbb{N}}\right)\\ & =f_{L}\left(\left(a_{1}+b_{1},a_{2}+b_{2},\cdots\right)\right)\\ & =\left(a_{2}+b_{2},a_{3}+b_{3},\cdots\right)\\ & =\left(a_{2},a_{3},\cdots\right)+\left(b_{2},b_{3},\cdots\right)\\ & =f_{L}\left(a_{1},a_{2},\cdots\right)+f_{L}\left(b_{1},b_{2},\cdots\right)\\ & =f_{L}\left(\left(a_{k}\right)_{k\in\mathbb{N}}\right)+f_{L}\left(\left(b_{k}\right)_{k\in\mathbb{N}}\right) \end{align*} \begin{align*} f_{L}\left(k\left(a_{k}\right)_{k\in\mathbb{N}}\right) & =f_{L}\left(\left(ka_{k}\right)_{k\in\mathbb{N}}\right)\\ & =f_{L}\left(\left(ka_{1},ka_{2},\cdots\right)\right)\\ & =\left(ka_{2},ka_{3},\cdots\right)\\ & =k\left(a_{2},a_{3},\cdots\right)\\ & =kf_{L}\left(a_{1},a_{2},\cdots\right) \end{align*} となるので、\(f_{L}\)は線形写像となる。
同様に\(f_{R}\)の線形写像となる。
この\(f_{L}\)を左シフト作用素、\(f_{R}\)を右シフト作用素という。
この作用素は、\(f_{L}\circ f_{R}=1_{\ell\left(K\right)}\)であるが、\(f_{R}\circ f_{L}\ne1_{\ell\left(K\right)}\)である。
これより、\(f_{R}\)は左逆写像\(f_{L}\)が存在するので単射となり、\(f_{L}\)は右逆写像になっていないので逆写像が存在しないので\(f_{R}\)は全射ではない。
また、\(f_{L}\)は右逆写像\(f_{R}\)が存在するので全射となり、\(f_{R}\)は左逆写像になっていないので逆写像が存在しないので\(f_{L}\)は単射ではない。