円に外接する4角形の面積

半周長を
\[ s=\frac{a+b+c+d}{2} \] とする。
4角形が円に外接しているとき対辺の和が等しいので、
\begin{align*} s-a & =\frac{a+b+c+d}{2}-a\\ & =\frac{-a+c+b+d}{2}\\ & =\frac{-a+c+a+c}{2}\\ & =c \end{align*} となる。
同様に、\(s-b=d,s-c=a,s-d=b\)となるので、ブレートシュナイダーの公式より、
\begin{align*} S & =\sqrt{\left(s-a\right)\left(s-b\right)\left(s-c\right)\left(s-d\right)-abcd\cos^{2}\frac{A+C}{2}}\\ & =\sqrt{cdab-abcd\cos^{2}\frac{A+C}{2}}\\ & =\sqrt{abcd}\sqrt{1-\cos^{2}\frac{A+C}{2}}\\ & =\sqrt{abcd}\sqrt{\sin^{2}\frac{A+C}{2}}\\ & =\sqrt{abcd}\left|\sin\frac{A+C}{2}\right|\\ & =\sqrt{abcd}\sin\frac{A+C}{2} \end{align*} となる。