ベクトル空間での平行移動と集合の和と商集合の違い
ベクトル空間での平行移動と集合の和と商集合の違い
体\(K\)上のベクトル空間\(V\)と部分集合\(A,B\subseteq V\)があるとき、次のようになります。
体\(K\)上のベクトル空間\(V\)と部分集合\(A,B\subseteq V\)があるとき、次のようになります。
(1)平行移動
\[ \left\{ \boldsymbol{x}+\boldsymbol{a};\boldsymbol{a}\in A\right\} =\boldsymbol{x}+A \](2)集合の和
\[ \left\{ \boldsymbol{a}+\boldsymbol{b};\boldsymbol{a}\in A,\boldsymbol{b}\in B\right\} =A+B \](3)商集合
\[ \left\{ \boldsymbol{a}+B;\boldsymbol{a}\in A\right\} =A/B \](1)
\(\left\{ \boldsymbol{v}\right\} +A=\boldsymbol{v}+A\)と\(A+\boldsymbol{v}=A+\boldsymbol{v}\)は成り立ちますが、\(A+\left\{ B\right\} =A/B\)であり、\(A+\left\{ B\right\} \ne A+B\)となります。これは
\begin{align*} A+\left\{ B\right\} & =\left\{ \boldsymbol{a};\boldsymbol{a}\in A\right\} +\left\{ B\right\} \\ & =\left\{ \boldsymbol{a}+B;\boldsymbol{a}\in A\right\} \\ & =A/B \end{align*} \begin{align*} A+B & =\left\{ \boldsymbol{a};\boldsymbol{a}\in A\right\} +\left\{ \boldsymbol{b};\boldsymbol{b}\in B\right\} \\ & =\left\{ \boldsymbol{a}+\boldsymbol{b};\boldsymbol{a}\in A,\boldsymbol{b}\in B\right\} \end{align*} であるので、
\begin{align*} A+\left\{ B\right\} & =\left\{ \boldsymbol{a}+B;\boldsymbol{a}\in A\right\} \\ & \ne\left\{ \boldsymbol{a}+\boldsymbol{b};\boldsymbol{a}\in A,\boldsymbol{b}\in B\right\} \\ & =A+B \end{align*} となるからです。
(1)
\begin{align*} \left\{ \boldsymbol{a}+\boldsymbol{x};\boldsymbol{a}\in A\right\} & =\left\{ \boldsymbol{a};\boldsymbol{a}\in A\right\} +\boldsymbol{x}\\ & =A+\boldsymbol{x} \end{align*}(2)
\begin{align*} \left\{ \boldsymbol{a}+\boldsymbol{b};\boldsymbol{a}\in A,\boldsymbol{b}\in B\right\} & =\left\{ \boldsymbol{a};\boldsymbol{a}\in A\right\} +\left\{ \boldsymbol{b};\boldsymbol{b}\in B\right\} \\ & =A+B \end{align*}(3)
\begin{align*} \left\{ \boldsymbol{a}+B;\boldsymbol{a}\in A\right\} & =\left\{ \boldsymbol{a};\boldsymbol{a}\in A\right\} +\left\{ B\right\} \\ & =\left\{ \boldsymbol{a};\boldsymbol{a}\in A\right\} /B\\ & =A/B \end{align*}
ページ情報
| タイトル | ベクトル空間での平行移動と集合の和と商集合の違い |
| URL | https://www.nomuramath.com/dvumklr4/ |
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ベクトル空間での剰余集合(商集合)と剰余類(商類)の定義と性質
\[
\left(A/B\right)^{c}\subseteq A^{c}/B
\]
基底の性質
$K^{n}$空間では$\boldsymbol{a}_{1},\boldsymbol{a}_{2},\cdots,\boldsymbol{a}_{n}$が基底であることと、$\det\left(\boldsymbol{a}_{1},\boldsymbol{a}_{2},\cdots,\boldsymbol{a}_{n}\right)\ne0$であることは同値である。
和空間・積集合の次元
\[
\dim W_{1}+\dim W_{2}=\dim\left(W_{1}+W_{2}\right)+\dim\left(W_{1}\cap W_{2}\right)
\]
ベクトル空間の次元の定義