集合族の和集合・積集合の性質
集合族の和集合・積集合の性質
\(\mathcal{A}=\left\{ A_{\lambda}\right\} _{\lambda\in\Lambda}\)を集合族とする。
\(\mathcal{A}=\left\{ A_{\lambda}\right\} _{\lambda\in\Lambda}\)を集合族とする。
(1)
\[ \forall B\in\mathcal{A},B\subseteq\bigcup\mathcal{A} \](2)
\[ \left(\forall B\in\mathcal{A},B\subseteq C\right)\Rightarrow\bigcup\mathcal{A}\subseteq C \](3)
\[ \forall B\in\mathcal{A},\bigcap\mathcal{A}\subseteq B \](4)
\[ \left(\forall B\in\mathcal{A},C\subseteq B\right)\Rightarrow C\subseteq\bigcap\mathcal{A} \](1)
任意の\(B\in\mathcal{A}\)に対し、ある\(\mu\in\Lambda\)が存在し、\(B=A_{\mu}\)となるので、\[ \forall\mu\in\Lambda,A_{\mu}\subseteq\bigcup_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda} \] となり明らかに成り立つ。
(2)
任意の\(B\in\mathcal{A}\)に対し、ある\(\mu\in\Lambda\)が存在し、\(B=A_{\mu}\)となるので、\[ \forall\mu\in\Lambda,A_{\mu}\subseteq C\Rightarrow\bigcup_{\lambda\in\Lambda}\mathcal{A}_{\lambda}\subseteq C \] となり明らかに成り立つ。
(3)
任意の\(B\in\mathcal{A}\)に対し、ある\(\mu\in\Lambda\)が存在し、\(B=A_{\mu}\)となるので、\[ \forall\mu\in\Lambda,\bigcap_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}\subseteq A_{\mu} \] となり明らかに成り立つ。
(4)
任意の\(B\in\mathcal{A}\)に対し、ある\(\mu\in\Lambda\)が存在し、\(B=A_{\mu}\)となるので、\[ \forall\mu\in\Lambda,C\subseteq A_{\mu}\Rightarrow C\subseteq\bigcap_{\lambda\in\Lambda}\mathcal{A}_{\lambda} \] となり明らかに成り立つ。
ページ情報
| タイトル | 集合族の和集合・積集合の性質 |
| URL | https://www.nomuramath.com/dor0jbrc/ |
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