正接関数・双曲線正接関数の多重対数関数表示
正接関数・双曲線正接関数の多重対数関数表示
正接関数・双曲線正接関数は多重対数関数を使って以下のように表示できる。
正接関数・双曲線正接関数は多重対数関数を使って以下のように表示できる。
(1)正接関数
\[ \tan^{\pm1}z=i^{\pm1}\left(1+2\Li_{0}\left(\mp e^{2iz}\right)\right) \](2)双曲線正接関数
\[ \tanh^{\pm1}z=1+2\Li_{0}\left(\mp e^{-2z}\right) \]-
\(\Li_{n}\left(z\right)\)は多重対数関数(1)
\begin{align*} \tan^{\pm1}z & =i^{\mp1}\frac{e^{iz}\mp e^{-iz}}{e^{iz}\pm e^{-iz}}\\ & =i^{\mp1}\frac{e^{2iz}\mp1}{e^{2iz}\pm1}\\ & =-i^{\mp1}\frac{1\mp e^{2iz}}{1\pm e^{2iz}}\\ & =e^{-i\pi}e^{\mp\frac{\pi}{2}i}\frac{1\pm e^{2iz}\mp2e^{2iz}}{1\pm e^{2iz}}\\ & =e^{\pm\frac{\pi}{2}i}\left(1+2\frac{\mp e^{2iz}}{1\pm e^{2iz}}\right)\\ & =i^{\pm1}\left(1+2\Li_{0}\left(\mp e^{2iz}\right)\right) \end{align*}(2)
\begin{align*} \tanh^{\pm1}z & =\left(i^{-1}\tan\left(iz\right)\right)^{\pm1}\\ & =i^{\mp1}\tan^{\pm1}\left(iz\right)\\ & =i^{\mp1}i^{\pm1}\left(1+2\Li_{0}\left(\mp e^{-2z}\right)\right)\\ & =1+2\Li_{0}\left(\mp e^{-2z}\right) \end{align*}
ページ情報
| タイトル | 正接関数・双曲線正接関数の多重対数関数表示 |
| URL | https://www.nomuramath.com/d6pmhb0k/ |
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1±itan(z)など
\[
1\pm i\tan z=\frac{1}{\cos\left(2\Re z\right)+\cosh\left(2\Im z\right)}\left(e^{\pm2i\Re z}+e^{\mp2\Im z}\right)
\]
三角関数と双曲線関数のn乗積分
\[
\int\sin^{2n+m_{\pm}}xdx=\frac{\Gamma\left(n+\frac{1}{2}+\frac{m_{\pm}}{2}\right)}{\Gamma\left(n+1+\frac{m_{\pm}}{2}\right)}\left\{ -\frac{1}{2}\sum_{k=0}^{n-1}\left(\frac{\Gamma\left(k+1+\frac{m_{\pm}}{2}\right)}{\Gamma\left(k+\frac{3}{2}+\frac{m_{\pm}}{2}\right)}\cos x\sin^{2k+1+m_{\pm}}x\right)+\frac{\Gamma\left(1+\frac{m_{\pm}}{2}\right)}{\Gamma\left(\frac{1}{2}+\frac{m_{\pm}}{2}\right)}\int\sin^{m_{\pm}}xdx\right\}
\]
三角関数の積
\[
\prod_{k=1}^{n-1}\sin\frac{k\pi}{n}=\frac{n}{2^{n-1}}
\]
3角関数・双曲線関数の総和
\[
\sum_{k=m_{1}}^{m_{2}}\sin\left(ak+b\right)=\sin^{-1}\left(\frac{a}{2}\right)\sin\left(\left(m_{1}+m_{2}\right)\frac{a}{2}+b\right)\sin\left(\left(1+m_{2}-m_{1}\right)\frac{a}{2}\right)
\]