調和数の2項係数展開
調和数の2項係数展開
調和数\(H_{z}\)は2項係数を使って次のように表される。
\[ H_{z}=\sum_{k=1}^{\infty}\left(-1\right)^{k-1}\frac{1}{k}C\left(z,k\right) \]
調和数\(H_{z}\)は2項係数を使って次のように表される。
\[ H_{z}=\sum_{k=1}^{\infty}\left(-1\right)^{k-1}\frac{1}{k}C\left(z,k\right) \]
\(n\in\mathbb{N}_{0}\)のときは、
\[ H_{n}=\sum_{k=1}^{n}\left(-1\right)^{k-1}\frac{1}{k}C\left(n,k\right) \] となる。
\[ H_{n}=\sum_{k=1}^{n}\left(-1\right)^{k-1}\frac{1}{k}C\left(n,k\right) \] となる。
\begin{align*}
H_{z} & =\int_{0}^{1}\frac{1-x^{z}}{1-x}dx\\
& =\int_{0}^{1}\frac{1-\left(1-u\right)^{z}}{1-\left(1-u\right)}d\left(1-u\right)\\
& =-\int_{0}^{1}\frac{1-\sum_{k=0}^{\infty}C\left(z,k\right)\left(-u\right)^{k}}{u}du\\
& =\sum_{k=1}^{\infty}\left(-1\right)^{k-1}C\left(z,k\right)\int_{0}^{1}u^{k-1}du\\
& =\sum_{k=1}^{\infty}\left(-1\right)^{k-1}\frac{1}{k}C\left(z,k\right)
\end{align*}
ページ情報
| タイトル | 調和数の2項係数展開 |
| URL | https://www.nomuramath.com/bwfj39bt/ |
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調和数と一般化調和数の拡張
\[
H_{z,m}=\zeta\left(m\right)-\zeta\left(m,z+1\right)
\]
一般化調和数の特殊値
\[
H_{\frac{1}{2},z}=2^{z}-\left(2^{z}-2\right)\zeta\left(z\right)
\]
調和数・一般化調和数の定義
\[
H_{n,m}:=\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k^{m}}
\]
調和数・一般化調和数のn回微分とテーラー展開
\[
\frac{d^{n}H_{z,\alpha}}{dz^{n}}=\zeta\left(\alpha\right)\delta_{0n}+\left(-1\right)^{n+1}Q\left(\alpha,n\right)\left(\zeta\left(\alpha+n\right)-H_{z,\alpha+n}\right)
\]