ブロック行列同士の積
ブロック行列同士の積
\(l\times m\)行列\(A\)と\(m\times n\)行列\(B\)があり、ブロック行列\(A\)は\(\left(l_{1},l_{2},\cdots,l_{p};m_{1},m_{2},\cdots,m_{q}\right)\)型でブロック行列\(B\)は\(\left(m_{1},m_{2},\cdots,m_{q};n_{1},n_{2},\cdots,n_{r}\right)\)型のとき、ブロック行列同士の積\(AB\)は
\[ \left[AB\right]_{i,j}=\sum_{k=1}^{q}A_{i,k}B_{k,j} \] となる。
角括弧はブロック行列の成分を表している。
行列で表すと、
\begin{align*} AB & =\left(\begin{array}{cccc} A_{11} & A_{12} & \cdots & A_{1q}\\ A_{21} & A_{22} & \cdots & A_{2q}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ A_{p1} & A_{p2} & \cdots & A_{pq} \end{array}\right)\left(\begin{array}{cccc} B_{11} & B_{12} & \cdots & B_{1r}\\ B_{21} & B_{22} & \cdots & B_{2r}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ B_{q1} & B_{q2} & \cdots & B_{qr} \end{array}\right)\\ & =\left(\begin{array}{cccc} \sum_{k=1}^{q}A_{1k}B_{k1} & \sum_{k=1}^{q}A_{1k}B_{k2} & \cdots & \sum_{k=1}^{q}A_{1k}B_{kr}\\ \sum_{k=1}^{q}A_{2k}B_{k1} & \sum_{k=1}^{q}A_{2k}B_{k2} & \cdots & \sum_{k=1}^{q}A_{2k}B_{kr}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ \sum_{k=1}^{q}A_{pk}B_{k1} & \sum_{k=1}^{q}A_{pk}B_{k2} & \cdots & \sum_{k=1}^{q}A_{pk}B_{kr} \end{array}\right) \end{align*} となる。
\(l\times m\)行列\(A\)と\(m\times n\)行列\(B\)があり、ブロック行列\(A\)は\(\left(l_{1},l_{2},\cdots,l_{p};m_{1},m_{2},\cdots,m_{q}\right)\)型でブロック行列\(B\)は\(\left(m_{1},m_{2},\cdots,m_{q};n_{1},n_{2},\cdots,n_{r}\right)\)型のとき、ブロック行列同士の積\(AB\)は
\[ \left[AB\right]_{i,j}=\sum_{k=1}^{q}A_{i,k}B_{k,j} \] となる。
角括弧はブロック行列の成分を表している。
行列で表すと、
\begin{align*} AB & =\left(\begin{array}{cccc} A_{11} & A_{12} & \cdots & A_{1q}\\ A_{21} & A_{22} & \cdots & A_{2q}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ A_{p1} & A_{p2} & \cdots & A_{pq} \end{array}\right)\left(\begin{array}{cccc} B_{11} & B_{12} & \cdots & B_{1r}\\ B_{21} & B_{22} & \cdots & B_{2r}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ B_{q1} & B_{q2} & \cdots & B_{qr} \end{array}\right)\\ & =\left(\begin{array}{cccc} \sum_{k=1}^{q}A_{1k}B_{k1} & \sum_{k=1}^{q}A_{1k}B_{k2} & \cdots & \sum_{k=1}^{q}A_{1k}B_{kr}\\ \sum_{k=1}^{q}A_{2k}B_{k1} & \sum_{k=1}^{q}A_{2k}B_{k2} & \cdots & \sum_{k=1}^{q}A_{2k}B_{kr}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ \sum_{k=1}^{q}A_{pk}B_{k1} & \sum_{k=1}^{q}A_{pk}B_{k2} & \cdots & \sum_{k=1}^{q}A_{pk}B_{kr} \end{array}\right) \end{align*} となる。
(1)
\[ A=\left(\begin{array}{c|cc} 1 & 2 & 3\\ \hline 4 & 5 & 6 \end{array}\right) \] \[ B=\left(\begin{array}{cc|c} 1 & 2 & 3\\ \hline 4 & 5 & 6\\ 7 & 8 & 9 \end{array}\right) \] とすると、ブロック行列\(A\)は\(\left(1,1;1,2\right)\)型でブロック行列\(B\)は\(\left(1,2;2,1\right)\)型なので積ができて、\begin{align*} AB & =\left(\begin{array}{c|cc} 1 & 2 & 3\\ \hline 4 & 5 & 6 \end{array}\right)\left(\begin{array}{cc|c} 1 & 2 & 3\\ \hline 4 & 5 & 6\\ 7 & 8 & 9 \end{array}\right)\\ & =\left(\begin{array}{cc} \left(1\right)\left(\begin{array}{cc} 1 & 2\end{array}\right)+\left(\begin{array}{cc} 2 & 3\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc} 4 & 5\\ 7 & 8 \end{array}\right) & \left(1\right)\left(3\right)+\left(\begin{array}{cc} 2 & 3\end{array}\right)\left(\begin{array}{c} 6\\ 9 \end{array}\right)\\ \left(4\right)\left(\begin{array}{cc} 1 & 2\end{array}\right)+\left(\begin{array}{cc} 5 & 6\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc} 4 & 5\\ 7 & 8 \end{array}\right) & \left(3\right)\left(4\right)\left(\begin{array}{cc} 5 & 6\end{array}\right)\left(\begin{array}{c} 6\\ 9 \end{array}\right) \end{array}\right)\\ & =\left(\begin{array}{cc} \left(\begin{array}{cc} 30 & 36\end{array}\right) & 42\\ \left(\begin{array}{cc} 66 & 81\end{array}\right) & 96 \end{array}\right)\\ & =\left(\begin{array}{cc|c} 30 & 36 & 42\\ \hline 66 & 81 & 96 \end{array}\right) \end{align*} となる。
(2)
\[ A=\left(\begin{array}{c|cc} 1 & 2 & 3\\ \hline 4 & 5 & 6\\ 7 & 8 & 9 \end{array}\right) \] \[ B=\left(\begin{array}{cc|c} 1 & 2 & 3\\ \hline 4 & 5 & 6\\ 7 & 8 & 9 \end{array}\right) \] とすると、ブロック行列\(A\)は\(\left(1,2;1,2\right)\)型でブロック行列\(B\)は\(\left(1,2;2,1\right)\)型なので積ができて、\begin{align*} AB & =\left(\begin{array}{c|cc} 1 & 2 & 3\\ \hline 4 & 5 & 6\\ 7 & 8 & 9 \end{array}\right)\left(\begin{array}{cc|c} 1 & 2 & 3\\ \hline 4 & 5 & 6\\ 7 & 8 & 9 \end{array}\right)\\ & =\left(\begin{array}{cc} \left(1\right)\left(\begin{array}{cc} 1 & 2\end{array}\right)+\left(\begin{array}{cc} 2 & 3\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc} 4 & 5\\ 7 & 8 \end{array}\right) & \left(1\right)\left(3\right)+\left(\begin{array}{cc} 2 & 3\end{array}\right)\left(\begin{array}{c} 6\\ 9 \end{array}\right)\\ \left(\begin{array}{c} 4\\ 7 \end{array}\right)\left(\begin{array}{cc} 1 & 2\end{array}\right)+\left(\begin{array}{cc} 5 & 6\\ 8 & 9 \end{array}\right)\left(\begin{array}{cc} 4 & 5\\ 7 & 8 \end{array}\right) & \left(\begin{array}{c} 4\\ 7 \end{array}\right)\left(3\right)+\left(\begin{array}{cc} 5 & 6\\ 8 & 9 \end{array}\right)\left(\begin{array}{c} 6\\ 9 \end{array}\right) \end{array}\right)\\ & =\left(\begin{array}{cc} \left(\begin{array}{cc} 30 & 36\end{array}\right) & 42\\ \left(\begin{array}{cc} 66 & 81\\ 102 & 126 \end{array}\right) & \left(\begin{array}{c} 96\\ 150 \end{array}\right) \end{array}\right)\\ & =\left(\begin{array}{cc|c} 30 & 36 & 42\\ \hline 66 & 81 & 96\\ 102 & 126 & 150 \end{array}\right) \end{align*} となる。
\begin{align*}
\left(\left[AB\right]_{i,j}\right)_{a,b} & =\left(AB\right)_{\sum_{s=1}^{i-1}l_{s}+a,\sum_{t=1}^{j-1}n_{t}+b}\\
& =\sum_{k=1}^{m}\left(A\right)_{\sum_{s=1}^{i-1}l_{s}+a,k}\left(B\right)_{k,\sum_{t=1}^{j-1}n_{t}+b}
\end{align*}
\begin{align*}
\left(\sum_{k=1}^{q}A_{i,k}B_{k,j}\right)_{a,b} & =\sum_{k=1}^{q}\left(A_{i,k}B_{k,j}\right)_{a,b}\\
& =\sum_{k=1}^{q}\sum_{s=\sum_{u=1}^{k-1}m_{u}+1}^{\sum_{u=1}^{k}m_{u}}\left(A\right)_{\sum_{s=1}^{i-1}l_{s}+a,s}\left(B\right)_{s,\sum_{t=1}^{j-1}n_{t}+b}\\
& =\left(\sum_{s=1}^{m_{1}}+\sum_{s=m_{1}+1}^{m_{1}+m_{2}}+\cdots+\sum_{s=\sum_{u=1}^{q-1}m_{u}+1}^{\sum_{u=1}^{q}m_{u}}\right)\left(A\right)_{\sum_{s=1}^{i-1}l_{s}+a,s}\left(B\right)_{s,\sum_{t=1}^{j-1}n_{t}+b}\\
& =\sum_{s=1}^{\sum_{u=1}^{q}m_{u}}\left(A\right)_{\sum_{s=1}^{i-1}l_{s}+a,s}\left(B\right)_{s,\sum_{t=1}^{j-1}n_{t}+b}\\
& =\sum_{s=1}^{m}\left(A\right)_{\sum_{s=1}^{i-1}l_{s}+a,s}\left(B\right)_{s,\sum_{t=1}^{j-1}n_{t}+b}
\end{align*}
これより、
\[ \left[AB\right]_{i,j}=\sum_{k=1}^{q}A_{i,k}B_{k,j} \] となるので与式は成り立つ。
\[ \left[AB\right]_{i,j}=\sum_{k=1}^{q}A_{i,k}B_{k,j} \] となるので与式は成り立つ。
ページ情報
| タイトル | ブロック行列同士の積 |
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ブロック行列と色々なブロック行列の定義