2×2ブロック対称分けの積の分割
2×2ブロック対称分けの積の分割
2×2ブロック対称分けについて次の積の分割が成り立つ。
\begin{align*} \left(\begin{array}{cc} A & B\\ C & D \end{array}\right) & =\left(\begin{array}{cc} A & O\\ O & D \end{array}\right)\left(\begin{array}{cc} I & A^{-1}B\\ D^{-1}C & I \end{array}\right)\\ & =\left(\begin{array}{cc} I & BD^{-1}\\ CA^{-1} & I \end{array}\right)\left(\begin{array}{cc} A & O\\ O & D \end{array}\right) \end{align*}
2×2ブロック対称分けについて次の積の分割が成り立つ。
(1)
\(A,D\)は正則とする。\begin{align*} \left(\begin{array}{cc} A & B\\ C & D \end{array}\right) & =\left(\begin{array}{cc} A & O\\ O & D \end{array}\right)\left(\begin{array}{cc} I & A^{-1}B\\ D^{-1}C & I \end{array}\right)\\ & =\left(\begin{array}{cc} I & BD^{-1}\\ CA^{-1} & I \end{array}\right)\left(\begin{array}{cc} A & O\\ O & D \end{array}\right) \end{align*}
(2)
\begin{align*} \left(\begin{array}{cc} A & B\\ C & D \end{array}\right) & =\left(\begin{array}{cc} I & O\\ CA^{-1} & I \end{array}\right)\left(\begin{array}{cc} A & O\\ O & D-CA^{-1}B \end{array}\right)\left(\begin{array}{cc} I & A^{-1}B\\ O & I \end{array}\right)\\ & =\left(\begin{array}{cc} I & BD^{-1}\\ O & I \end{array}\right)\left(\begin{array}{cc} A-BD^{-1}C & O\\ O & D \end{array}\right)\left(\begin{array}{cc} I & O\\ D^{-1}C & I \end{array}\right) \end{align*} 上の式は\(A\)が正則、下の式は\(D\)が正則とする。(1)
\begin{align*} \left(\begin{array}{cc} A & O\\ O & D \end{array}\right)\left(\begin{array}{cc} I & A^{-1}B\\ D^{-1}C & I \end{array}\right) & =\left(\begin{array}{cc} AI+OD^{-1}C & AA^{-1}B+OI\\ OI+DD^{-1}C & OA^{-1}B+DI \end{array}\right)\\ & =\left(\begin{array}{cc} A & B\\ C & D \end{array}\right) \end{align*} \begin{align*} \left(\begin{array}{cc} I & BD^{-1}\\ CA^{-1} & I \end{array}\right)\left(\begin{array}{cc} A & O\\ O & D \end{array}\right) & =\left(\begin{array}{cc} IA+BD^{-1}O & IO+BD^{-1}D\\ CA^{-1}A+IO & CA^{-1}O+ID \end{array}\right)\\ & =\left(\begin{array}{cc} A & B\\ C & D \end{array}\right) \end{align*} となるので与式は成り立つ。(2)
\begin{align*} \left(\begin{array}{cc} A & B\\ C & D \end{array}\right) & =\left(\begin{array}{cc} A & O\\ C & D-CA^{-1}B \end{array}\right)\left(\begin{array}{cc} I & A^{-1}B\\ O & I \end{array}\right)\\ & =\left(\begin{array}{cc} I & O\\ CA^{-1} & I \end{array}\right)\left(\begin{array}{cc} A & O\\ O & D-CA^{-1}B \end{array}\right)\left(\begin{array}{cc} I & A^{-1}B\\ O & I \end{array}\right) \end{align*} \begin{align*} \left(\begin{array}{cc} A & B\\ C & D \end{array}\right) & =\left(\begin{array}{cc} A-BD^{-1}C & B\\ O & D \end{array}\right)\left(\begin{array}{cc} I & O\\ D^{-1}C & I \end{array}\right)\\ & =\left(\begin{array}{cc} I & BD^{-1}\\ O & I \end{array}\right)\left(\begin{array}{cc} A-BD^{-1}C & O\\ O & D \end{array}\right)\left(\begin{array}{cc} I & O\\ D^{-1}C & I \end{array}\right) \end{align*} となるので与式は成り立つ。
ページ情報
| タイトル | 2×2ブロック対称分けの積の分割 |
| URL | https://www.nomuramath.com/ahzun5jv/ |
| SNSボタン |
2×2ブロック行列の行列式
\[
\det\left(\begin{array}{cc}
A & O\\
C & D
\end{array}\right)=\det\left(A\right)\det\left(D\right)
\]
ブロック行列同士の積
\[
\left[AB\right]_{i,j}=\sum_{k=1}^{q}A_{i,k}B_{k,j}
\]
ブロック行列と色々なブロック行列の定義