三角関数と双曲線関数の対数
三角関数の対数
対数を多価関数とすると以下が成り立つ。
対数を多価関数とすると以下が成り立つ。
(1)
\[ \log\sin x=-\log2+\frac{\pi}{2}i-ix-Li_{1}\left(e^{2ix}\right) \](2)
\[ \log\cos x=-\log2-ix-Li_{1}\left(-e^{2ix}\right) \](3)
\[ \log\tan x=\frac{\pi}{2}i-Li_{1}\left(e^{2ix}\right)+Li_{1}\left(-e^{2ix}\right)+\log1 \](1)
\begin{align*} \log\sin x & =\log\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}\\ & =\log\frac{ie^{-ix}}{2}+\log\left(1-e^{2ix}\right)\\ & =-\log2+\frac{\pi}{2}i-ix-Li_{1}\left(e^{2ix}\right) \end{align*}(2)
\begin{align*} \log\cos x & =\log\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}\\ & =\log\frac{e^{-ix}}{2}+\log\left(1+e^{2ix}\right)\\ & =-\log2-ix-Li_{1}\left(-e^{2ix}\right) \end{align*}(3)
\begin{align*} \log\tan x & =\log\sin x-\log\cos x\\ & =\frac{\pi}{2}i-Li_{1}\left(e^{2ix}\right)+Li_{1}\left(-e^{2ix}\right)+\log1 \end{align*}双曲線関数の対数
対数を多価関数とすると以下が成り立つ。
対数を多価関数とすると以下が成り立つ。
(1)
\[ \log\sinh x=-\log2+x-Li_{1}\left(e^{-2x}\right) \](2)
\[ \log\cosh x=-\log2+x-Li_{1}\left(-e^{-2x}\right) \](3)
\[ \log\tanh x=-Li_{1}\left(e^{-2x}\right)+Li_{1}\left(-e^{-2x}\right)+\log1 \](1)
\begin{align*} \log\sinh x & =\log\left(\frac{1}{i}\sin\left(ix\right)\right)\\ & =-\log i+\log\left(\sin\left(ix\right)\right)\\ & =-\frac{\pi}{2}i-\log2+\frac{\pi}{2}i+x-Li_{1}\left(e^{-2x}\right)\\ & =-\log2+x-Li_{1}\left(e^{-2x}\right) \end{align*}(2)
\begin{align*} \log\cosh x & =\log\cos\left(ix\right)\\ & =-\log2+x-Li_{1}\left(-e^{-2x}\right) \end{align*}(3)
\begin{align*} \log\tanh x & =\log\sinh x-\log\cosh x\\ & =-Li_{1}\left(e^{-2x}\right)+Li_{1}\left(-e^{-2x}\right)+\log1 \end{align*}(3)-2
\begin{align*} \log\tanh x & =\log\left(\frac{1}{i}\tan\left(ix\right)\right)\\ & =-\log i+\log\left(\tan\left(ix\right)\right)\\ & =-\frac{\pi}{2}i+\frac{\pi}{2}i-Li_{1}\left(e^{-2x}\right)+Li_{1}\left(-e^{-2x}\right)+\log1\\ & =-Li_{1}\left(e^{-2x}\right)+Li_{1}\left(-e^{-2x}\right)+\log1 \end{align*}
ページ情報
| タイトル | 三角関数と双曲線関数の対数 |
| URL | https://www.nomuramath.com/ag3vh1ei/ |
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逆三角関数の負角、余角、逆数
\[
\cos^{\bullet}x+\sin^{\bullet}x=\frac{\pi}{2}
\]
逆正接関数・逆双曲線正接関数と多重対数関数の関係
\[
\Tan^{\bullet}z=\frac{i}{2}\left(-\Li_{1}\left(iz\right)+\Li_{1}\left(-iz\right)\right)
\]
巾関数と逆三角関数・逆双曲線関数の積の積分
\[
\int z^{\alpha}\Sin^{\bullet}zdz=\frac{1}{\alpha+1}\left(z^{\alpha+1}\Sin^{\bullet}z-\frac{z^{\alpha+2}}{\alpha+2}F\left(\frac{1}{2},\frac{\alpha}{2}+1;\frac{\alpha}{2}+2;z^{2}\right)\right)+C
\]
三角関数と双曲線関数の実部と虚部
\[
\tan z=\frac{\sin\left(2\Re z\right)+i\sinh\left(2\Im z\right)}{\cos\left(2\Re z\right)+\cosh\left(2\Im z\right)}
\]