ベクトル空間の和・直和・和集合・積集合・直積の定義と基本性質
ベクトル空間の和・直和・和集合・積集合・直積の定義と基本性質
ベクトル空間の和・直和・和集合・積集合・直積の定義
ベクトル空間の和・直和・和集合・積集合・直積を次で定義する。
\[ V_{1}+V_{2}=\left\{ \boldsymbol{v}_{1}+\boldsymbol{v}_{2};\boldsymbol{v}_{1}\in V,\boldsymbol{v}_{2}\in V\right\} \] を\(V_{1},V_{2}\)の和という
ベクトル空間\(V\)の有限個の部分空間\(V_{1},V_{2},\cdots,V_{n}\)の直和は任意の\(i,j\in\left\{ 1,2,\cdots,n\right\} \)について、\(i\ne j\rightarrow V_{i}\cap V_{j}=\left\{ 0\right\} \)のときに定義され\(V=V_{1}+V_{2}+\cdots+V_{n}\)を部分空間\(V_{1},V_{2},\cdots,V_{n}\)の内部直和といい、\(V=V_{1}\oplus V_{2}\oplus\cdots\oplus V_{n}=\bigoplus_{k\in\left\{ 1,2,\cdots,n\right\} }V_{k}\)で表される。
また、任意個のベクトル空間\(\left\{ V_{\lambda}\right\} _{\lambda\in\Lambda}\)の直和は直積\(\prod_{\lambda\in\Lambda}V_{\lambda}\)の非零成分が有限個のもの全体で定義される。
有限個のベクトル空間の直和は直積と等しくなりますが、任意個のベクトル空間の直和と直積は一般的に異なるものになります。
\[ \left(\boldsymbol{v}_{1},\boldsymbol{v}_{2},\cdots,\boldsymbol{v}_{n}\right)+\left(\boldsymbol{v}'_{1},\boldsymbol{v}'_{2},\cdots,\boldsymbol{v}'_{n}\right)=\left(\boldsymbol{v}_{1}+\boldsymbol{v}'_{1},\boldsymbol{v}_{2}+\boldsymbol{v}'_{2},\cdots,\boldsymbol{v}_{n}+\boldsymbol{v}'_{n}\right) \] と定め、スカラー倍を
\[ c\left(\boldsymbol{v}_{1},\boldsymbol{v}_{2},\cdots,\boldsymbol{v}_{n}\right)=\left(c\boldsymbol{v}_{1},c\boldsymbol{v}_{2},\cdots,c\boldsymbol{v}_{n}\right) \] と定めたとき、\(V_{1}\times V_{2}\times\cdots\times V_{n}\)はベクトル空間となり、これを内部直和と同じ表示\(V=V_{1}\oplus V_{2}\oplus\cdots\oplus V_{n}=\bigoplus_{k\in\left\{ 1,2,\cdots,n\right\} }V_{k}\)で表される。
内部直和のように任意の\(i,j\in\left\{ 1,2,\cdots,n\right\} \)について、\(i\ne j\rightarrow V_{i}\cap V_{j}=\left\{ 0\right\} \)という条件は必要ありません。
また、任意個のベクトル空間\(\left\{ V_{\lambda}\right\} _{\lambda\in\Lambda}\)の外部直和は直積\(\prod_{\lambda\in\Lambda}V_{\lambda}\)の非零成分が有限個のもの全体で定義されます。
\[ V_{1}\cup V_{2}=\left\{ \boldsymbol{v};\boldsymbol{v}\in V_{1}\lor\boldsymbol{v}\in V_{2}\right\} \] を\(V_{1},V_{2}\)の和集合という。
\[ V_{1}\cap V_{2}=\left\{ \boldsymbol{v};\boldsymbol{v}\in V_{1}\land\boldsymbol{v}\in V_{2}\right\} \] を\(V_{1},V_{2}\)の和集合という
すなわち、\(V\times W=\left\{ \left(\boldsymbol{v},\boldsymbol{w}\right);\boldsymbol{v}\in V,\boldsymbol{w}\in W\right\} \)である。
この\(V\times W\)の元に対し、加法は成分同士の和、スカラー倍は全成分をスカラー倍する、すなわち、
\[ \left(\boldsymbol{v}_{1},\boldsymbol{w}_{1}\right)+\left(\boldsymbol{v}_{2},\boldsymbol{w}_{2}\right)=\left(\boldsymbol{v}_{1}+\boldsymbol{v}_{2},\boldsymbol{w}_{1}+\boldsymbol{w}_{2}\right) \] \[ c\left(\boldsymbol{v}_{1},\boldsymbol{w}_{1}\right)=\left(c\boldsymbol{v}_{1},c\boldsymbol{w}_{2}\right) \] と定めると、\(V\times W\)はベクトル空間となる。
任意個のベクトル空間\(\left\{ V_{\lambda}\right\} _{\lambda\in\Lambda}\)の直積も同様に定義され、内部直和と外部直和のように任意個のベクトル空間における直積は非零成分が有限個のもの全体という制限はありません。
ベクトル空間の和・直和・和集合・積集合・直積の基本性質
このとき、和\(W_{1}+W_{2}+\cdots+W_{r}\)が直和であることと、任意の\(k\in\left\{ 1,2,\cdots,r-1\right\} \)について、\(\left(W_{1}+W_{2}+\cdots+W_{k}\right)\cap W_{k+1}=\left\{ \boldsymbol{0}\right\} \)となることは同値である。
このとき、和\(V=V_{1}+V_{2}+\cdots+V_{r}\)が直和で\(V=V_{1}\oplus V_{2}\oplus\cdots\oplus V_{r}\)と表すことができることと、任意の\(\boldsymbol{v}\in V\)についてある\(\boldsymbol{v}_{1}\in V_{1},\boldsymbol{v}_{2}\in V_{2},\cdots,\boldsymbol{v}_{r}\in V_{r}\)が一意的に存在し、\(\boldsymbol{v}=\boldsymbol{v}_{1}+\boldsymbol{v}_{2}+\cdots+\boldsymbol{v}_{r}\)と表すことができることは同値である。
このとき、和\(V_{1}+V_{2}+\cdots+V_{r}\)が直和で\(V_{1}\oplus V_{2}\oplus\cdots\oplus V_{r}\)で表すことができることと、任意の\(k\in\left\{ 1,2,\cdots,r\right\} \)について、\(\boldsymbol{v}_{k}\in V_{k}\)として
\[ \sum_{k=1}^{r}\boldsymbol{v}_{k}=\boldsymbol{0}_{V}\Rightarrow\boldsymbol{v}_{1}=\boldsymbol{v}_{2}=\cdots=\boldsymbol{v}_{r}=\boldsymbol{0}_{V} \] となることは同値である。
このとき、結合法則\(\left(V_{1}\oplus V_{2}\right)\oplus V_{3}=V_{1}\oplus\left(V_{2}\oplus V_{3}\right)\)が成り立つ。
このとき、任意の\(k\in\left\{ 1,2,\cdots,r\right\} \)について、\(W_{j}\)の基底の集合を\(S_{j}\)とすると、\(S_{1}\sqcup S_{2}\sqcup\cdots\sqcup S_{r}\)は\(W_{1}\oplus W_{2}\oplus\cdots\oplus W_{r}\)の基底となる。
ベクトル空間の和・直和・和集合・積集合・直積の定義
ベクトル空間の和・直和・和集合・積集合・直積を次で定義する。
(1)和
ベクトル空間\(V\)と部分空間\(V_{1},V_{2}\subseteq V\)があるとき、\[ V_{1}+V_{2}=\left\{ \boldsymbol{v}_{1}+\boldsymbol{v}_{2};\boldsymbol{v}_{1}\in V,\boldsymbol{v}_{2}\in V\right\} \] を\(V_{1},V_{2}\)の和という
(2)内部直和
ベクトル空間\(V\)と部分空間\(V_{1},V_{2}\subseteq V\)があり、\(V_{1}\cap V_{2}=\left\{ \boldsymbol{0}\right\} \)となるときの和\(V_{1}+V_{2}\)を\(V_{1},V_{2}\)の直和といい、\(V_{1}\oplus V_{2}\)で表す。ベクトル空間\(V\)の有限個の部分空間\(V_{1},V_{2},\cdots,V_{n}\)の直和は任意の\(i,j\in\left\{ 1,2,\cdots,n\right\} \)について、\(i\ne j\rightarrow V_{i}\cap V_{j}=\left\{ 0\right\} \)のときに定義され\(V=V_{1}+V_{2}+\cdots+V_{n}\)を部分空間\(V_{1},V_{2},\cdots,V_{n}\)の内部直和といい、\(V=V_{1}\oplus V_{2}\oplus\cdots\oplus V_{n}=\bigoplus_{k\in\left\{ 1,2,\cdots,n\right\} }V_{k}\)で表される。
また、任意個のベクトル空間\(\left\{ V_{\lambda}\right\} _{\lambda\in\Lambda}\)の直和は直積\(\prod_{\lambda\in\Lambda}V_{\lambda}\)の非零成分が有限個のもの全体で定義される。
有限個のベクトル空間の直和は直積と等しくなりますが、任意個のベクトル空間の直和と直積は一般的に異なるものになります。
(3)外部直和
\(K\)上の有限個のベクトル空間\(V_{1},V_{2},\cdots,V_{n}\)があるとき、\(\left(\boldsymbol{v}_{1},\boldsymbol{v}_{2},\cdots,\boldsymbol{v}_{n}\right),\left(\boldsymbol{v}'_{1},\boldsymbol{v}'_{2},\cdots,\boldsymbol{v}'_{n}\right)\in V_{1}\times V_{2}\times\cdots\times V_{n},c\in K\)として、和を\[ \left(\boldsymbol{v}_{1},\boldsymbol{v}_{2},\cdots,\boldsymbol{v}_{n}\right)+\left(\boldsymbol{v}'_{1},\boldsymbol{v}'_{2},\cdots,\boldsymbol{v}'_{n}\right)=\left(\boldsymbol{v}_{1}+\boldsymbol{v}'_{1},\boldsymbol{v}_{2}+\boldsymbol{v}'_{2},\cdots,\boldsymbol{v}_{n}+\boldsymbol{v}'_{n}\right) \] と定め、スカラー倍を
\[ c\left(\boldsymbol{v}_{1},\boldsymbol{v}_{2},\cdots,\boldsymbol{v}_{n}\right)=\left(c\boldsymbol{v}_{1},c\boldsymbol{v}_{2},\cdots,c\boldsymbol{v}_{n}\right) \] と定めたとき、\(V_{1}\times V_{2}\times\cdots\times V_{n}\)はベクトル空間となり、これを内部直和と同じ表示\(V=V_{1}\oplus V_{2}\oplus\cdots\oplus V_{n}=\bigoplus_{k\in\left\{ 1,2,\cdots,n\right\} }V_{k}\)で表される。
内部直和のように任意の\(i,j\in\left\{ 1,2,\cdots,n\right\} \)について、\(i\ne j\rightarrow V_{i}\cap V_{j}=\left\{ 0\right\} \)という条件は必要ありません。
また、任意個のベクトル空間\(\left\{ V_{\lambda}\right\} _{\lambda\in\Lambda}\)の外部直和は直積\(\prod_{\lambda\in\Lambda}V_{\lambda}\)の非零成分が有限個のもの全体で定義されます。
(4)和集合
ベクトル空間\(V\)と部分空間\(V_{1},V_{2}\subseteq V\)があるとき、\[ V_{1}\cup V_{2}=\left\{ \boldsymbol{v};\boldsymbol{v}\in V_{1}\lor\boldsymbol{v}\in V_{2}\right\} \] を\(V_{1},V_{2}\)の和集合という。
(5)積集合
ベクトル空間\(V\)と部分空間\(V_{1},V_{2}\subseteq V\)があるとき、\[ V_{1}\cap V_{2}=\left\{ \boldsymbol{v};\boldsymbol{v}\in V_{1}\land\boldsymbol{v}\in V_{2}\right\} \] を\(V_{1},V_{2}\)の和集合という
(6)直積
体\(K\)上のベクトル空間\(V,W\)があり、\(\boldsymbol{v}\in V,\boldsymbol{w}\in W\)から作られる組\(\left(\boldsymbol{v},\boldsymbol{w}\right)\)全体を\(V,W\)の直積といい\(V\times W\)で表す。すなわち、\(V\times W=\left\{ \left(\boldsymbol{v},\boldsymbol{w}\right);\boldsymbol{v}\in V,\boldsymbol{w}\in W\right\} \)である。
この\(V\times W\)の元に対し、加法は成分同士の和、スカラー倍は全成分をスカラー倍する、すなわち、
\[ \left(\boldsymbol{v}_{1},\boldsymbol{w}_{1}\right)+\left(\boldsymbol{v}_{2},\boldsymbol{w}_{2}\right)=\left(\boldsymbol{v}_{1}+\boldsymbol{v}_{2},\boldsymbol{w}_{1}+\boldsymbol{w}_{2}\right) \] \[ c\left(\boldsymbol{v}_{1},\boldsymbol{w}_{1}\right)=\left(c\boldsymbol{v}_{1},c\boldsymbol{w}_{2}\right) \] と定めると、\(V\times W\)はベクトル空間となる。
任意個のベクトル空間\(\left\{ V_{\lambda}\right\} _{\lambda\in\Lambda}\)の直積も同様に定義され、内部直和と外部直和のように任意個のベクトル空間における直積は非零成分が有限個のもの全体という制限はありません。
ベクトル空間の和・直和・和集合・積集合・直積の基本性質
(1)複数個の直和
\(K\)上のベクトル空間\(V\)の有限次元部分空間\(W_{1},W_{2},\cdots,W_{r}\subseteq V\)があるとする。このとき、和\(W_{1}+W_{2}+\cdots+W_{r}\)が直和であることと、任意の\(k\in\left\{ 1,2,\cdots,r-1\right\} \)について、\(\left(W_{1}+W_{2}+\cdots+W_{k}\right)\cap W_{k+1}=\left\{ \boldsymbol{0}\right\} \)となることは同値である。
(2)内部直和の別定義
\(K\)上のベクトル空間\(V\)がありその部分空間\(V_{1},V_{2},\cdots,V_{r}\subseteq V\)があるとする。このとき、和\(V=V_{1}+V_{2}+\cdots+V_{r}\)が直和で\(V=V_{1}\oplus V_{2}\oplus\cdots\oplus V_{r}\)と表すことができることと、任意の\(\boldsymbol{v}\in V\)についてある\(\boldsymbol{v}_{1}\in V_{1},\boldsymbol{v}_{2}\in V_{2},\cdots,\boldsymbol{v}_{r}\in V_{r}\)が一意的に存在し、\(\boldsymbol{v}=\boldsymbol{v}_{1}+\boldsymbol{v}_{2}+\cdots+\boldsymbol{v}_{r}\)と表すことができることは同値である。
(3)内部直和の別定義
\(K\)上のベクトル空間\(V\)がありその部分空間\(V_{1},V_{2},\cdots,V_{r}\subseteq V\)があるとする。このとき、和\(V_{1}+V_{2}+\cdots+V_{r}\)が直和で\(V_{1}\oplus V_{2}\oplus\cdots\oplus V_{r}\)で表すことができることと、任意の\(k\in\left\{ 1,2,\cdots,r\right\} \)について、\(\boldsymbol{v}_{k}\in V_{k}\)として
\[ \sum_{k=1}^{r}\boldsymbol{v}_{k}=\boldsymbol{0}_{V}\Rightarrow\boldsymbol{v}_{1}=\boldsymbol{v}_{2}=\cdots=\boldsymbol{v}_{r}=\boldsymbol{0}_{V} \] となることは同値である。
(4)内部直和の一意性
\(W=V_{1}\oplus V_{2}\)になることと、任意の\(\boldsymbol{w}\in W\)についてある\(\boldsymbol{v}_{1}\in V,\boldsymbol{v}_{2}\in V_{2}\)が一意的に存在し\(\boldsymbol{w}=\boldsymbol{v}_{1}+\boldsymbol{v}_{2}\)となることは同値である。(5)内部直和の結合法則
\(K\)上のベクトル空間\(V\)がありその部分空間\(V_{1},V_{2},V_{3}\subseteq V\)があるとする。このとき、結合法則\(\left(V_{1}\oplus V_{2}\right)\oplus V_{3}=V_{1}\oplus\left(V_{2}\oplus V_{3}\right)\)が成り立つ。
(6)内部直和での基底
\(K\)上のベクトル空間\(V\)と部分空間\(W_{1},W_{2},\cdots,W_{r}\)があり和\(W_{1}+W_{2}+\cdots+W_{r}\)が直和\(W_{1}\oplus W_{2}\oplus\cdots\oplus W_{r}\)で表されるとする。このとき、任意の\(k\in\left\{ 1,2,\cdots,r\right\} \)について、\(W_{j}\)の基底の集合を\(S_{j}\)とすると、\(S_{1}\sqcup S_{2}\sqcup\cdots\sqcup S_{r}\)は\(W_{1}\oplus W_{2}\oplus\cdots\oplus W_{r}\)の基底となる。
(1)
一般的に和と和集合は異なります。例えばユークリッド空間\(\mathbb{R}^{2}\)は通常の和とスカラー倍においてベクトル空間であり、\(V_{1}=\left\{ \left(x,0\right);x\in\mathbb{R}\right\} ,V_{2}=\left\{ \left(y,0\right);y\in\mathbb{R}\right\} \)は部分空間である。
このとき、和は\(V_{1}+V_{2}=\left\{ \left(x,0\right)+\left(0,y\right);x,y\in\mathbb{R}\right\} =\left\{ \left(x,y\right);x,y\in\mathbb{R}\right\} =\mathbb{R}^{2}\)となるが、和集合は\(V_{1}\cup V_{2}=\left\{ \left(x,0\right)\lor\left(y,0\right);x,y\in\mathbb{R}\right\} \)となる。
これは、\(\left(1,1\right)\in V_{1}+V_{2}\)であるが、\(\left(1,1\right)\notin V_{1}+V_{2}\)となるので明らかに異なる。
(2)
ベクトル空間\(V\)の部分空間\(V_{1},V_{2}\)があり、\(V_{1}\cap V_{2}=\left\{ \boldsymbol{0}\right\} \)のときの部分空間同士の直和を内部直和といい\(V_{1}\oplus V_{2}\)や\(V_{1}\dotplus V_{2}\)で表す。ベクトル空間\(V,W\)があるとき、ベクトル空間同士の直和を外部直和といい、\(V\oplus W\)で表す。
(3)
有限個のベクトル空間\(V_{1},V_{2},\cdots,V_{r}\)があるとき、外部直和\(\bigoplus_{k\in\left\{ 1,2,\cdots,r\right\} }V_{k}\)と直積\(\prod_{k\in\left\{ 1,2,\cdots,r\right\} }V_{k}\)は\begin{align*} \bigoplus_{k\in\left\{ 1,2,\cdots,r\right\} }V_{k} & =\left\{ \left(\boldsymbol{v}_{1},\boldsymbol{v}_{2},\cdots,\boldsymbol{v}_{r}\right);k\in\left\{ 1,2,\cdots,r\right\} ,v_{k}\in V_{k}\right\} \\ & =\prod_{k\in\left\{ 1,2,\cdots,r\right\} }V_{k} \end{align*} であり、同一となります。
しかし、無限個のベクトル空間\(V_{1},V_{2},\cdots\)では、外部直和\(\bigoplus_{k\in\mathbb{N}}V_{k}\)の元は非零成分が有限個のみとしますが、直積\(\prod_{k\in\mathbb{N}}V_{k}\)の元は非零成分が無限個あっても構いません。
(4)直積がベクトル空間になることの証明
直積\(V\times W\)がベクトル空間になることの証明\(\boldsymbol{v}_{1},\boldsymbol{v}_{2},\boldsymbol{v}_{3}\in V;\boldsymbol{w}_{1},\boldsymbol{w}_{2},\boldsymbol{w}_{3}\in W;a,b\in K\)とする。
\(\left(\boldsymbol{v}_{1},\boldsymbol{w}_{1}\right)+\left(\boldsymbol{v}_{2},\boldsymbol{w}_{2}\right)=\left(\boldsymbol{v}_{1}+\boldsymbol{v}_{2},\boldsymbol{w}_{1}+\boldsymbol{w}_{2}\right)\in V\times W\)となるので加法について閉じている。
\(a\left(\boldsymbol{v}_{1},\boldsymbol{w}_{1}\right)=\left(a\boldsymbol{v}_{1},a\boldsymbol{w}_{2}\right)\in V\times W\)となるのでスカラー倍について閉じている。
(a)加法の結合律
\begin{align*} \left(\boldsymbol{v}_{1},\boldsymbol{w}_{1}\right)+\left(\left(\boldsymbol{v}_{2},\boldsymbol{w}_{2}\right)+\left(\boldsymbol{v}_{3},\boldsymbol{w}_{3}\right)\right) & =\left(\boldsymbol{v}_{1},\boldsymbol{w}_{1}\right)+\left(\boldsymbol{v}_{2}+\boldsymbol{v}_{3},\boldsymbol{w}_{2}+\boldsymbol{w}_{3}\right)\\ & =\left(\boldsymbol{v}_{1}+\boldsymbol{v}_{2}+\boldsymbol{v}_{3},\boldsymbol{v}_{1}+\boldsymbol{w}_{2}+\boldsymbol{w}_{3}\right)\\ & =\left(\boldsymbol{v}_{1}+\boldsymbol{v}_{2},\boldsymbol{v}_{1}+\boldsymbol{w}_{2}\right)+\left(\boldsymbol{v}_{3},\boldsymbol{w}_{3}\right)\\ & =\left(\left(\boldsymbol{v}_{1},\boldsymbol{w}_{1}\right)+\left(\boldsymbol{v}_{2},\boldsymbol{w}_{2}\right)\right)+\left(\boldsymbol{v}_{3},\boldsymbol{w}_{3}\right) \end{align*}(b)加法の可換律
\begin{align*} \left(\boldsymbol{v}_{1},\boldsymbol{w}_{1}\right)+\left(\boldsymbol{v}_{2},\boldsymbol{w}_{2}\right) & =\left(\boldsymbol{v}_{1}+\boldsymbol{v}_{2},\boldsymbol{w}_{1}+\boldsymbol{w}_{2}\right)\\ & =\left(\boldsymbol{v}_{2}+\boldsymbol{v}_{1},\boldsymbol{w}_{2}+\boldsymbol{w}_{1}\right)\\ & =\left(\boldsymbol{v}_{2},\boldsymbol{w}_{2}\right)+\left(\boldsymbol{v}_{1},\boldsymbol{w}_{1}\right) \end{align*}(c)加法単位元
\(\left(\boldsymbol{0}_{v},\boldsymbol{0}_{w}\right)\in V\times W\)は任意の\(\left(\boldsymbol{v}_{1},\boldsymbol{w}_{1}\right)\in V\times W\)に対し、\begin{align*} \left(\boldsymbol{v}_{1},\boldsymbol{w}_{1}\right)+\left(\boldsymbol{0}_{v},\boldsymbol{0}_{w}\right) & =\left(\boldsymbol{v}_{1}+\boldsymbol{0}_{v},\boldsymbol{w}_{1}+\boldsymbol{0}_{w}\right)\\ & =\left(\boldsymbol{v}_{1},\boldsymbol{w}_{1}\right) \end{align*} となるので加法単位元が存在する。
(d)加法逆元
任意の\(\left(\boldsymbol{v}_{1},\boldsymbol{w}_{1}\right)\in V\times W\)に対し、\(-\left(\boldsymbol{v}_{1},\boldsymbol{w}_{1}\right)\in V\times W\)は\begin{align*} \left(\boldsymbol{v}_{1},\boldsymbol{w}_{1}\right)-\left(\boldsymbol{v}_{1},\boldsymbol{w}_{1}\right) & =\left(\boldsymbol{v}_{1}-\boldsymbol{v}_{1},\boldsymbol{w}_{1}-\boldsymbol{w}_{1}\right)\\ & =\left(\boldsymbol{0}_{v},\boldsymbol{0}_{w}\right) \end{align*} となるので、加法逆元が存在する。
(e)スカラー分配律
\begin{align*} a\left(\left(\boldsymbol{v}_{1},\boldsymbol{w}_{1}\right)+\left(\boldsymbol{v}_{2},\boldsymbol{w}_{2}\right)\right) & =a\left(\left(\boldsymbol{v}_{1}+\boldsymbol{v}_{2},\boldsymbol{w}_{1}+\boldsymbol{w}_{2}\right)\right)\\ & =\left(a\left(\boldsymbol{v}_{1}+\boldsymbol{v}_{2}\right),a\left(\boldsymbol{w}_{1}+\boldsymbol{w}_{2}\right)\right)\\ & =\left(a\boldsymbol{v}_{1}+a\boldsymbol{v}_{2},a\boldsymbol{w}_{1}+a\boldsymbol{w}_{2}\right)\\ & =\left(a\boldsymbol{v}_{1},a\boldsymbol{w}_{1}\right)+\left(a\boldsymbol{v}_{2},a\boldsymbol{w}_{2}\right)\\ & =a\left(\boldsymbol{v}_{1},\boldsymbol{w}_{1}\right)+a\left(\boldsymbol{v}_{2},\boldsymbol{w}_{2}\right) \end{align*}(f)ベクトル分配律
\begin{align*} \left(a+b\right)\left(\boldsymbol{v}_{1},\boldsymbol{w}_{1}\right) & =\left(\left(a+b\right)\boldsymbol{v}_{1},\left(a+b\right)\boldsymbol{w}_{1}\right)\\ & =\left(a\boldsymbol{v}_{1}+b\boldsymbol{v}_{1},a\boldsymbol{w}_{1}+b\boldsymbol{w}_{1}\right)\\ & =\left(a\boldsymbol{v}_{1},a\boldsymbol{w}_{1}\right)+\left(b\boldsymbol{v}_{1},b\boldsymbol{w}_{1}\right)\\ & =a\left(\boldsymbol{v}_{1},\boldsymbol{w}_{1}\right)+b\left(\boldsymbol{v}_{1},\boldsymbol{w}_{1}\right) \end{align*}(g)スカラーとベクトルの結合律
\begin{align*} a\left(b\left(\boldsymbol{v}_{1},\boldsymbol{w}_{1}\right)\right) & =a\left(b\boldsymbol{v}_{1},b\boldsymbol{w}_{1}\right)\\ & =\left(a\left(b\boldsymbol{v}_{1}\right),a\left(b\boldsymbol{w}_{1}\right)\right)\\ & =\left(\left(ab\right)\boldsymbol{v}_{1},\left(ab\right)\boldsymbol{w}_{1}\right)\\ & =\left(ab\right)\left(\boldsymbol{v}_{1},\boldsymbol{w}_{1}\right) \end{align*}(h)スカラー単位元
\(1\in K\)は任意の任意の\(\left(\boldsymbol{v}_{1},\boldsymbol{w}_{1}\right)\in V\times W\)に対し、\begin{align*} 1\left(\boldsymbol{v}_{1},\boldsymbol{w}_{1}\right) & =\left(1\boldsymbol{v}_{1},1\boldsymbol{w}_{1}\right)\\ & =\left(\boldsymbol{v}_{1},\boldsymbol{w}_{1}\right) \end{align*} となるので、スカラー単位元が存在する。
-
これらより、\(V\times W\)は加法とスカラー倍について閉じていてベクトル空間であるための条件を全て満たしているので、\(V\times W\)はベクトル空間となる。(1)
\(\Rightarrow\)
\(W_{1}+W_{2}+\cdots+W_{r}\)が直和であるとき、\begin{align*} W_{1}+W_{2}+W_{3}+\cdots+W_{k}+W_{k+1}+\cdots+W_{r} & =W_{1}\oplus W_{2}\oplus W_{3}\oplus\cdots\oplus W_{k}\oplus W_{k+1}\oplus\cdots\oplus W_{r}\\ & =\left(\left(\left(\left(\left(\left(W_{1}\oplus W_{2}\right)\oplus W_{3}\right)\oplus\cdots\right)\oplus W_{k}\right)\oplus W_{k+1}\right)\oplus\cdots\right)\oplus W_{r} \end{align*} となる。
これより、任意の\(k\in\left\{ 1,2,\cdots,r-1\right\} \)について、\(W_{1}+W_{2}+\cdots+W_{k}\)と\(W_{k+1}\)の和\(\left(W_{1}+W_{2}+\cdots+W_{k}\right)+W_{k+1}\)は直和で表すことができるので、\(\left(W_{1}+W_{2}+\cdots+W_{k}\right)\oplus W_{k+1}\)となり、\(\left(W_{1}+W_{2}+\cdots+W_{k}\right)\cap W_{k+1}=\left\{ \boldsymbol{0}\right\} \)となる。
従って\(\Rightarrow\)が成り立つ。
\(\Leftarrow\)
任意の\(k\in\left\{ 1,2,\cdots,r-1\right\} \)について、\(\left(W_{1}+W_{2}+\cdots+W_{k}\right)\cap W_{k+1}=\left\{ \boldsymbol{0}\right\} \)となるとき、\begin{align*} W_{1}+W_{2}+W_{3}+\cdots+W_{r} & =\left(W_{1}\oplus W_{2}\right)+W_{3}+\cdots+W_{r}\cmt{\because k=1\text{とする。}}\\ & =\left(\left(W_{1}\oplus W_{2}\right)\oplus W_{3}\right)+\cdots+W_{r}\cmt{\because k=2\text{とする。}}\\ & =\cdots\\ & =\left(\left(\left(W_{1}\oplus W_{2}\right)\oplus W_{3}\right)\oplus\cdots\right)\oplus W_{r}\\ & =W_{1}\oplus W_{2}\oplus W_{3}\oplus\cdots\oplus W_{r} \end{align*} となり、\(W_{1}+W_{2}+\cdots+W_{r}\)は直和で表すことができる。
従って\(\Leftarrow\)が成り立つ。
\(\Leftrightarrow\)
これらより、\(\Rightarrow\)と\(\Leftarrow\)が成り立つので\(\Leftrightarrow\)が成り立つ。補足
\(K\)上のベクトル空間\(V\)の有限次元部分空間\(W_{1},W_{2},W_{3}\subseteq V\)があるとき、\(W_{1}\cap W_{2}=\left\{ \boldsymbol{0}_{V}\right\} \)かつ\(W_{1}\cap W_{3}=\left\{ \boldsymbol{0}_{V}\right\} \)かつ\(W_{2}\cap W_{3}=\left\{ \boldsymbol{0}_{V}\right\} \)であっても和\(W_{1}+W_{2}+W_{3}\)が直和\(W_{1}\oplus W_{2}\oplus W_{3}\)で表されるとは限りません。
例えば2次元実ユークリッド空間\(\mathbb{R}^{2}=\left\{ \left(x,y\right);x,y\in\mathbb{R}\right\} \)で\(W_{1}=\left\{ \left(x,0\right);x\in\mathbb{R}\right\} ,W_{2}=\left\{ \left(0,x\right);x\in\mathbb{R}\right\} ,W_{3}=\left\{ \left(x,x\right);x\in\mathbb{R}\right\} \)とすると、\(W_{1}\cap W_{2}=\left\{ \boldsymbol{0}_{V}\right\} \)かつ\(W_{1}\cap W_{3}=\left\{ \boldsymbol{0}_{V}\right\} \)かつ\(W_{2}\cap W_{3}=\left\{ \boldsymbol{0}_{V}\right\} \)となります。
しかし、
\begin{align*} \left(W_{1}+W_{2}\right)\cap W_{3} & =\left(\left\{ \left(x,0\right);x\in\mathbb{R}\right\} +\left\{ \left(0,x\right);x\in\mathbb{R}\right\} \right)\cap\left\{ \left(x,x\right);x\in\mathbb{R}\right\} \\ & =\left\{ \left(x,y\right);x,y\in\mathbb{R}\right\} \cap\left\{ \left(x,x\right);x\in\mathbb{R}\right\} \\ & =\mathbb{R}^{2}\cap\left\{ \left(x,x\right);x\in\mathbb{R}\right\} \\ & =\left\{ \left(x,x\right);x\in\mathbb{R}\right\} \\ & \ne\left\{ \boldsymbol{0}_{V}\right\} \end{align*} となるので、直和\(W_{1}\oplus W_{2}\oplus W_{3}\) で表すことはできません。
(2)
\(\Rightarrow\)
存在性は明らかなので一意性を示す。\(\boldsymbol{v}_{1},\boldsymbol{v}'_{1}\in V_{1};\boldsymbol{v}_{2},\boldsymbol{v}'_{2}\in V_{2};\cdots;\boldsymbol{v}_{r},\boldsymbol{v}'_{r}\in V_{r}\)として、\(\boldsymbol{v}_{1}+\boldsymbol{v}_{2}+\cdots+\boldsymbol{v}_{r-1}+\boldsymbol{v}_{r}=\boldsymbol{v}'_{1}+\boldsymbol{v}'_{2}+\cdots+\boldsymbol{v}'_{r-1}+\boldsymbol{v}'_{r}\)となるとする。
このとき、移項して\(\boldsymbol{v}_{r}-\boldsymbol{v}'_{r}=\boldsymbol{v}'_{1}-\boldsymbol{v}_{1}+\boldsymbol{v}'_{2}-\boldsymbol{v}_{2}+\cdots+\boldsymbol{v}'_{r-1}-\boldsymbol{v}_{r-1}\)となり左辺は\(\boldsymbol{v}_{r}-\boldsymbol{v}'_{r}\in V_{r}\)、右辺は\(\boldsymbol{v}'_{1}-\boldsymbol{v}_{1}+\boldsymbol{v}'_{2}-\boldsymbol{v}_{2}+\cdots+\boldsymbol{v}'_{r-1}-\boldsymbol{v}_{r-1}\in V_{1}+V_{2}+\cdots+V_{r-1}\)となり、\(V=V_{1}\oplus V_{2}\oplus\cdots\oplus V_{r}\)より\(\left(V_{1}+V_{2}+\cdots+V_{r-1}\right)\cap V_{r}=\left\{ \boldsymbol{0}_{V}\right\} \)であるので、\(\boldsymbol{v}'_{1}-\boldsymbol{v}_{1}+\cdots+\boldsymbol{v}'_{r-1}-\boldsymbol{v}_{r-1}=\boldsymbol{0}_{V}\)かつ\(\boldsymbol{v}_{r}-\boldsymbol{v}'_{r}=\boldsymbol{0}_{V}\)となる。
これより、\(\boldsymbol{v}_{1}+\boldsymbol{v}_{2}+\cdots+\boldsymbol{v}_{r-1}=\boldsymbol{v}'_{1}+\boldsymbol{v}'_{2}+\cdots+\boldsymbol{v}'_{r-1}\)かつ\(\boldsymbol{v}_{r}=\boldsymbol{v}'_{r}\)となる。
これを繰り返せば、\(\boldsymbol{v}_{1}=\boldsymbol{v}'_{1},\boldsymbol{v}_{2}=\boldsymbol{v}'_{2},\cdots,\boldsymbol{v}_{r}=\boldsymbol{v}'_{r}\)となり一意的であることが示される。
従って\(\Rightarrow\)が成り立つ。
\(\Leftarrow\)
対偶で示す。和\(V=V_{1}+V_{2}+\cdots+V_{r}\)が直和\(V=V_{1}\oplus V_{2}\oplus\cdots\oplus V_{r}\)で表すことができないとき、ある零元ではない元\(\boldsymbol{a}\in V\setminus\left\{ 0_{V}\right\} \)と\(k\in\left\{ 1,2,\cdots,r-1\right\} \)が存在し、\(\boldsymbol{a}\in\left(V_{1}+V_{2}+\cdots+V_{k}\right)\cap V_{k+1}\)となる。
このとき、\(\boldsymbol{a}\in V_{1}+V_{2}+\cdots+V_{k}\)かつ\(\boldsymbol{a}\in V_{k+1}\)となり、\(V_{k+1}\)は部分空間なので、\(-\boldsymbol{a}\in V_{k+1}\)となり、\(\boldsymbol{0}_{V}\in V_{k+2},\boldsymbol{0}_{V}\in V_{k+3},\cdots,\boldsymbol{0}_{V}\in V_{r}\)であるので\(\boldsymbol{0}_{V}=\boldsymbol{a}+\left(-\boldsymbol{a}\right)+\boldsymbol{0}_{V}+\boldsymbol{0}_{V}+\cdots+\boldsymbol{0}_{V}\in V_{1}+V_{2}+\cdots+V_{r}\)となる。
また、\(\boldsymbol{0}_{V}\in V_{1}+V_{2}+\cdots+V_{r-1}\)かつ\(\boldsymbol{0}_{V}\in V_{r}\)であるので、\(\boldsymbol{0}_{V}=\boldsymbol{0}_{V}+\boldsymbol{0}_{V}+\cdots+\boldsymbol{0}_{V}\in V_{1}+V_{2}+\cdots+V_{r}\)となる。
これより、\(\boldsymbol{0}_{V}\)の表し方が一意的ではない。
従って、\(\Leftarrow\)の対偶が成り立つので\(\Leftarrow\)が成り立つ。
\(\Leftrightarrow\)
これらより\(\Rightarrow\)と\(\Leftarrow\)が成り立つので\(\Leftrightarrow\)が成り立つ。(3)
\(\Rightarrow\)
条件より、和\(V_{1}+V_{2}+\cdots+V_{r}\)が直和で\(V_{1}\oplus V_{2}\oplus\cdots\oplus V_{r}\)で表すことができるので、任意の\(k\in\left\{ 1,2,\cdots,r-1\right\} \)について、\[ \left(V_{1}+V_{2}+\cdots+V_{k}\right)\cap V_{k+1}=\left\{ \boldsymbol{0}_{V}\right\} \] となる。
このとき、任意の\(j\in\left\{ 1,2,\cdots,r\right\} \)について\(\boldsymbol{v}_{j}\in V_{j}\)とする。
ここで、
\[ \boldsymbol{v}_{1}+\boldsymbol{v}_{2}+\cdots+\boldsymbol{v}_{r}=\boldsymbol{0}_{V} \] を考える。
移項すると
\[ \boldsymbol{v}_{r}=\sum_{i=1}^{r-1}\left(-\boldsymbol{v}_{i}\right) \] となり、\(\boldsymbol{v}_{j}\in V_{j}\)であり、\(V_{1},V_{2},\cdots,V_{r-1}\)は部分空間なので\(-\boldsymbol{v}_{i}\in V_{i}\)となる。
これより、\(\boldsymbol{v}_{r}\in V_{r}\)かつ\(\sum_{i=1}^{r-1}\left(-\boldsymbol{v}_{i}\right)\in V_{1}+V_{2}+\cdots+V_{r-1}\)であるので、\(\boldsymbol{v}_{r}=\sum_{i=1}^{r-1}\left(-\boldsymbol{v}_{i}\right)\in V_{1}+V_{2}+\cdots+V_{r-1}\)となる。
このとき、\(k=r-1\)とすると\(\left(V_{1}+V_{2}+\cdots+V_{r-1}\right)\cap V_{r}=\left\{ \boldsymbol{0}_{V}\right\} \)であるので、\(\boldsymbol{v}_{r}\in\left(V_{1}+V_{2}+\cdots+V_{r-1}\right)\cap V_{r}=\left\{ \boldsymbol{0}_{V}\right\} \)となるので\(\boldsymbol{v}_{r}=\boldsymbol{0}_{V}\)となる。
これより、\(\boldsymbol{v}_{1}+\boldsymbol{v}_{2}+\cdots+\boldsymbol{v}_{r}=\boldsymbol{0}_{V}\)は\(\boldsymbol{v}_{1}+\boldsymbol{v}_{2}+\cdots+\boldsymbol{v}_{r-1}=\boldsymbol{0}_{V}\)となりこれを繰り返すと、\(\boldsymbol{0}_{V}=\boldsymbol{v}_{r}=\boldsymbol{v}_{r-1}=\cdots=\boldsymbol{v}_{1}\)となる。
従って、
\[ \sum_{k=1}^{r}\boldsymbol{v}_{k}=\boldsymbol{0}_{V}\Rightarrow\boldsymbol{v}_{1}=\boldsymbol{v}_{2}=\cdots=\boldsymbol{v}_{r}=\boldsymbol{0}_{V} \] となる。
故に\(\Rightarrow\)が成り立つ。
\(\Leftarrow\)
任意の\(k\in\left\{ 1,2,\cdots,r-1\right\} \)について、\(\left(V_{1}+V_{2}+\cdots+V_{k}\right)\cap V_{k+1}\)は\(V\)の部分空間となる。ここで、任意の元\(\boldsymbol{a}\in\left(V_{1}+V_{2}+\cdots+V_{k}\right)\cap V_{k+1}\)をとると\(\boldsymbol{a}\in V_{1}+V_{2}+\cdots+V_{k}\)かつ\(\boldsymbol{a}\in V_{k+1}\)となる。
このとき、任意の\(j\in\left\{ 1,2,\cdots,k\right\} \)についてある\(\boldsymbol{v}_{j}\in V_{j}\)が存在し、\(\boldsymbol{a}=\boldsymbol{v}_{1}+\boldsymbol{v}_{2}+\cdots+\boldsymbol{v}_{k}\)を満たす。
また、\(\boldsymbol{a}\in V_{k+1}\)であり、\(V_{k+1}\)は部分空間なので\(-\boldsymbol{a}\in V_{k+1}\)となる。
このとき、\(\boldsymbol{0}_{V}\in V_{k+2},\boldsymbol{0}_{V}\in V_{k+3},\cdots,\boldsymbol{0}_{V}\in V_{r}\)であり、
\begin{align*} \boldsymbol{0}_{V} & =\boldsymbol{v}_{1}+\boldsymbol{v}_{2}+\cdots+\boldsymbol{v}_{k}+\left(-\boldsymbol{a}\right)+0_{V}+\boldsymbol{0}_{V}+\cdots+\boldsymbol{0}_{V}\cmt{\because\boldsymbol{a}=\boldsymbol{v}_{1}+\boldsymbol{v}_{2}+\cdots+\boldsymbol{v}_{k}}\\ & \in V_{1}+V_{2}+\cdots+V_{k}+V_{k+1}+V_{k+2}+V_{k+3}+\cdots+V_{r} \end{align*} を満たし、条件より、\(\boldsymbol{v}_{1}=\boldsymbol{v}_{2}=\cdots=\boldsymbol{v}_{k}=\boldsymbol{a}=\boldsymbol{0}_{V}\)となる。
これより、\(\boldsymbol{a}=\boldsymbol{0}_{V}\)となり、任意の\(k\in\left\{ 1,2,\cdots,r-1\right\} \)について、\(\left\{ \boldsymbol{0}_{V}\right\} =\left(V_{1}+V_{2}+\cdots+V_{k}\right)\cap V_{k+1}\)となるので和\(V_{1}+V_{2}+\cdots+V_{r}\)は直和\(V_{1}\oplus V_{2}\oplus\cdots\oplus V_{r}\)で表すことができる。
従って\(\Leftarrow\)が成り立つ。
\(\Leftrightarrow\)
これらより\(\Rightarrow\)と\(\Leftarrow\)が成り立つので\(\Leftrightarrow\)が成り立つ。(4)
\(\Rightarrow\)
条件より\(W=V_{1}\oplus V_{2}\)であるので\(W=V_{1}+V_{2}\)であり、任意の\(\boldsymbol{w}\in W\)についてある\(\boldsymbol{v}_{1}\in V,\boldsymbol{v}_{2}\in V_{2}\)が存在し\(\boldsymbol{w}=\boldsymbol{v}_{1}+\boldsymbol{v}_{2}\)となる。次に一意性について示す。
\(W=V_{1}\oplus V_{2}\)より、\(V_{1}\cap V_{2}=\left\{ \boldsymbol{0}_{W}\right\} \)となる。
ここで、一意的でない、つまり、ある\(\boldsymbol{v}_{1},\boldsymbol{v}'_{1}\in V;\boldsymbol{v}_{2},\boldsymbol{v}'_{2}\in V_{2}\)が存在し、\(\boldsymbol{v}_{1}\ne\boldsymbol{v}'_{1},\boldsymbol{v}_{2}\ne\boldsymbol{v}'_{2}\)かつ\(\boldsymbol{w}=\boldsymbol{v}_{1}+\boldsymbol{v}_{2}=\boldsymbol{v}'_{1}+\boldsymbol{v}'_{2}\)となると仮定する。
そうすると、\(\boldsymbol{v}_{1}+\boldsymbol{v}_{2}=\boldsymbol{v}'_{1}+\boldsymbol{v}'_{2}\)より移項すると\(\boldsymbol{v}_{1}-\boldsymbol{v}'_{1}=\boldsymbol{v}'_{2}-\boldsymbol{v}_{2}\)となり左辺\(\boldsymbol{v}_{1}+\boldsymbol{v}_{2}\)は\(V_{1}\)の元で右辺\(\boldsymbol{v}'_{1}+\boldsymbol{v}'_{2}\)は\(V_{2}\)の元なので、\(\boldsymbol{v}_{1}-\boldsymbol{v}'_{1}=\boldsymbol{v}'_{2}-\boldsymbol{v}_{2}\in V_{1}\cap V_{2}\)となり\(\boldsymbol{v}_{1}\ne\boldsymbol{v}'_{1},\boldsymbol{v}_{2}\ne\boldsymbol{v}'_{2}\)より\(V_{1}\cap V_{2}\ni\boldsymbol{v}_{1}-\boldsymbol{v}'_{1}\ne\boldsymbol{0}_{W}\)となり\(V_{1}\cap V_{2}\ne\left\{ \boldsymbol{0}_{W}\right\} \)となるので矛盾。
従って背理法より、一意的となる。
故に\(\Rightarrow\)が成り立つ。
\(\Leftarrow\)
背理法により示す。つまり、任意の\(\boldsymbol{w}\in W\)についてある\(\boldsymbol{v}_{1}\in V,\boldsymbol{v}_{2}\in V_{2}\)が一意的に存在し\(\boldsymbol{w}=\boldsymbol{v}_{1}+\boldsymbol{v}_{2}\)となる、かつ、\(W=V_{1}\oplus V_{2}\)と直和で表せないと仮定する。
条件より、任意の\(\boldsymbol{w}\in W\)についてある\(\boldsymbol{v}_{1}\in V,\boldsymbol{v}_{2}\in V_{2}\)が一意的に存在し\(\boldsymbol{w}=\boldsymbol{v}_{1}+\boldsymbol{v}_{2}\)となるので\(W=V_{1}+V_{2}\)となる。
次に\(V_{1}\cap V_{2}=\left\{ \boldsymbol{0}_{W}\right\} \)となることを示す。
\(W=V_{1}+V_{2}\)であるが、仮定より\(W=V_{1}\oplus V_{2}\)と直和では表せないので、ある非零元\(\boldsymbol{x}\in\left(V_{1}\cap V_{2}\right)\setminus\left\{ \boldsymbol{0}_{W}\right\} \)が存在する。
そうすると、\(\boldsymbol{0}_{W}\in V_{1}\cap V_{2}\)であるので、
\begin{align*} \boldsymbol{0}_{W} & =\boldsymbol{0}_{W}+\boldsymbol{0}_{W}\\ & \in V_{1}+V_{2} \end{align*} \begin{align*} \boldsymbol{0}_{W} & =\boldsymbol{x}+\left(-\boldsymbol{x}\right)\\ & \in V_{1}+V_{2} \end{align*} の2通りの表示があるので、一意性に矛盾。
従って背理法より、任意の\(\boldsymbol{w}\in W\)についてある\(\boldsymbol{v}_{1}\in V,\boldsymbol{v}_{2}\in V_{2}\)が一意的に存在し\(\boldsymbol{w}=\boldsymbol{v}_{1}+\boldsymbol{v}_{2}\)となるならば、\(W=V_{1}\oplus V_{2}\)と直和で表せる。
故に\(\Leftarrow\)が成り立つ。
\(\Leftrightarrow\)
これらより\(\Rightarrow\)と\(\Leftarrow\)が成り立つので\(\Leftrightarrow\)が成り立つ。(5)
和の定義より\(\left(V_{1}+V_{2}\right)+V_{3}=V_{1}+\left(V_{2}+V_{3}\right)\)は明らか。一意性について示す。
\(V=\left(V_{1}\oplus V_{2}\right)\oplus V_{3}\)として、任意の\(\boldsymbol{v}\in V\)について、ある\(\boldsymbol{v}_{1}+\boldsymbol{v}_{2}\in V_{1}\oplus V_{2}\)と\(\boldsymbol{v}_{3}\in V_{3}\)が一意的に存在し、\(\boldsymbol{v}=\left(\boldsymbol{v}_{1}+\boldsymbol{v}_{2}\right)+\boldsymbol{v}_{3}\)となる。
このとき、任意の\(\boldsymbol{a}\in V_{1}+V_{2}\)について、ある\(\boldsymbol{v}_{1}\in V_{1}\)と\(\boldsymbol{v}_{2}\in V_{2}\)が一意的に存在し、\(\boldsymbol{a}=\boldsymbol{v}_{1}+\boldsymbol{v}_{2}\)が成り立つ。
これより、任意の\(\boldsymbol{v}\in V\)について、ある\(\boldsymbol{v}_{1}\in V_{1},\boldsymbol{v}_{2}\in V_{2},\boldsymbol{v}_{3}\in V_{3}\)が存在し\(\boldsymbol{v}=\left(\boldsymbol{v}_{1}+\boldsymbol{v}_{2}\right)+\boldsymbol{v}_{3}\)となる。
従って、\(\boldsymbol{v}=\left(\boldsymbol{v}_{1}+\boldsymbol{v}_{2}\right)+\boldsymbol{v}_{3}=\boldsymbol{v}_{1}+\boldsymbol{v}_{2}+\boldsymbol{v}_{3}\)となる。
同様に\(V=V_{1}\oplus\left(V_{2}\oplus V_{3}\right)\)のとき、任意の\(\boldsymbol{v}\in V\)について、ある\(\boldsymbol{v}_{1}\in V_{1},\boldsymbol{v}_{2}\in V_{2},\boldsymbol{v}_{3}\in V_{3}\)が存在し、\(\boldsymbol{v}=\boldsymbol{v}_{1}+\boldsymbol{v}_{2}+\boldsymbol{v}_{3}\)となる。
従って、\(\left(V_{1}\oplus V_{2}\right)\oplus V_{3}=V_{1}\oplus\left(V_{2}\oplus V_{3}\right)\)となる。
故に題意は成り立つ。
(6)
\(d_{k}=\dim W_{k}\)とおく。まず、\(i\ne j\Rightarrow S_{i}\cap S_{j}=\emptyset\)を示す。
\(i\ne j\)かつ\(S_{i}\cap S_{j}\ne\emptyset\)と仮定する。
対称性より\(i<j\)としてよい。
そうすると、ある元\(\boldsymbol{v}\in S_{i}\cap S_{j}\)が存在し、\(\boldsymbol{v}\in W_{i}\cap W_{j}\)となる。
このとき、\(i<j\)より\(W_{i}\subseteq W_{1}+W_{2}+\cdots+W_{i}+\cdots+W_{j-1}\)となるので、
\begin{align*} \boldsymbol{v} & \in W_{i}\cap W_{j}\\ & \subseteq\left(W_{1}+W_{2}+\cdots+W_{i}+\cdots+W_{j-1}\right)\cap W_{j} \end{align*} となるが、和\(W_{1}+W_{2}+\cdots+W_{r}\)は直和で表すことができるので、\(\left(W_{1}+W_{2}+\cdots+W_{i}+\cdots+W_{j-1}\right)\cap W_{j}=\left\{ \boldsymbol{0}_{V}\right\} \)となるので、
\begin{align*} \boldsymbol{v} & \in\left(W_{1}+W_{2}+\cdots+W_{i}+\cdots+W_{j-1}\right)\cap W_{j}\\ & =\left\{ \boldsymbol{0}_{V}\right\} \end{align*} となり、\(\boldsymbol{v}=\boldsymbol{0}_{V}\)となり、\(\boldsymbol{0}_{V}=\boldsymbol{v}\in S_{i}\cap S_{j}\)となり、零元が基底になるので矛盾。
従って、背理法より、\(i\ne j\Rightarrow S_{i}\cap S_{j}=\emptyset\)となる。
これより、基底の集合の和集合\(S_{1}\cup S_{2}\cup\cdots\cup S_{r}\)は\(S_{1}\sqcup S_{2}\sqcup\cdots\sqcup S_{r}\)で表される。
このとき、\(d_{k}=\dim W_{k}=\left|S_{k}\right|\)であり、\(\left|S_{1}\sqcup S_{2}\sqcup\cdots\sqcup S_{r}\right|=\left|S_{1}\right|+\left|S_{2}\right|+\cdots+\left|S_{r}\right|=\sum_{k=1}^{r}d_{k}\)となり、条件より\(W_{1}+W_{2}+\cdots+W_{r}=W_{1}\oplus W_{2}\oplus\cdots\oplus W_{r}\)であるので、
\begin{align*} \dim\left(W_{1}+W_{2}+\cdots+W_{r}\right) & =\dim\left(W_{1}\oplus W_{2}\oplus\cdots\oplus W_{r}\right)\\ & =\sum_{k=1}^{n}\dim W_{k}\\ & =\sum_{k=1}^{n}d_{k} \end{align*} となる。
従って、\(\left|S_{1}\sqcup S_{2}\sqcup\cdots\sqcup S_{r}\right|=\sum_{k=1}^{r}d_{k}=\dim\left(W_{1}+W_{2}+\cdots+W_{r}\right)\)となる。
また、\(W_{1}+W_{2}+\cdots+W_{r}=\left\langle S_{1},S_{2},\cdots,S_{r}\right\rangle \)であり全域性を満たすので\(S_{1}\sqcup S_{2}\sqcup\cdots\sqcup S_{r}\)は基底となる。
故に題意は成り立つ。
ページ情報
| タイトル | ベクトル空間の和・直和・和集合・積集合・直積の定義と基本性質 |
| URL | https://www.nomuramath.com/gu7x8l9f/ |
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