直交系・正規直交系・完全正規直交系の定義

(1)直交系

内積空間\(\left(V,\left\langle \bullet,\bullet\right\rangle \right)\)があり、\(\left\{ \boldsymbol{a}_{n}\right\} _{n}\subseteq V\)が互いに直交、すなわち、\(m\ne n\rightarrow\left\langle \boldsymbol{a}_{m},\boldsymbol{a}_{n}\right\rangle =0\)となるとき、\(\left\{ \boldsymbol{a}_{n}\right\} \)を直交系という。

(2)正規直交系

内積空間\(\left(V,\left\langle \bullet,\bullet\right\rangle \right)\)があり、\(\left\{ \boldsymbol{a}_{n}\right\} _{n}\subseteq V\)が正規化されている、すなわち、\(\left\langle \boldsymbol{a}_{m},\boldsymbol{a}_{n}\right\rangle =\delta_{m,n}\)となるとき、\(\left\{ \boldsymbol{a}_{n}\right\} \)を正規直交系という。

(3)完全正規直交系(正規直交基底)

ヒルベルト空間\(\left(H,\left\langle \bullet,\bullet\right\rangle \right)\)があり、\(\left\{ \boldsymbol{e}_{n}\right\} _{n}\subseteq H\)が完全系、すなわち、\(\forall k,\left\langle \boldsymbol{x},\boldsymbol{e}_{k}\right\rangle =0\rightarrow\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}\)となるとき、\(\left\{ \boldsymbol{e}_{n}\right\} \)を完全正規直交系または正規直交基底という。