内積空間の定義
内積空間の定義
\(\mathbb{C}\)上のベクトル空間\(V\)と内積\(\left\langle \cdot,\cdot\right\rangle :V\times V\rightarrow\mathbb{C}\)が次を満たすとき\(\left(V,\left\langle \cdot,\cdot\right\rangle \right)\)を内積空間という。
\(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y},\boldsymbol{z}\in V,\alpha,\beta\in\mathbb{C}\)とする。
\(\mathbb{C}\)上のベクトル空間\(V\)と内積\(\left\langle \cdot,\cdot\right\rangle :V\times V\rightarrow\mathbb{C}\)が次を満たすとき\(\left(V,\left\langle \cdot,\cdot\right\rangle \right)\)を内積空間という。
\(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y},\boldsymbol{z}\in V,\alpha,\beta\in\mathbb{C}\)とする。
(a)半正定値性(正値性)
\[ 0\leq\left\langle \boldsymbol{x},\boldsymbol{x}\right\rangle \](b)非退化性
\[ \left\langle \boldsymbol{x},\boldsymbol{x}\right\rangle =0\Rightarrow\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0} \](c)エルミート対称性
\[ \left\langle \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right\rangle =\overline{\left\langle \boldsymbol{y},\boldsymbol{x}\right\rangle } \](d)第1変数に対する線形性(半線形性)
\[ \left\langle \alpha\boldsymbol{x}+\beta\boldsymbol{y},\boldsymbol{z}\right\rangle =\alpha\left\langle \boldsymbol{x},\boldsymbol{z}\right\rangle +\beta\left\langle \boldsymbol{y},\boldsymbol{z}\right\rangle \]第1変数に対する線形性とエルミート対称性より、第2変数に対する共役線形性が成り立つので半双線形性が成り立つ。
\begin{align*} \left\langle z,\alpha\boldsymbol{x}+\beta\boldsymbol{y}\right\rangle & =\overline{\left\langle \alpha\boldsymbol{x}+\beta\boldsymbol{y},\boldsymbol{z}\right\rangle }\\ & =\overline{\alpha\left\langle \boldsymbol{x},\boldsymbol{z}\right\rangle +\beta\left\langle \boldsymbol{y},\boldsymbol{z}\right\rangle }\\ & =\overline{\alpha\left\langle \boldsymbol{x},\boldsymbol{z}\right\rangle }+\overline{\beta\left\langle \boldsymbol{y},\boldsymbol{z}\right\rangle }\\ & =\overline{\alpha}\left\langle \boldsymbol{z},\boldsymbol{x}\right\rangle +\overline{\beta}\left\langle \boldsymbol{z},\boldsymbol{y}\right\rangle \end{align*}
何故なら、\(\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}\)のとき第1変数に対する線形性より\(\left\langle \boldsymbol{x},\boldsymbol{x}\right\rangle =\left\langle \boldsymbol{0},\boldsymbol{0}\right\rangle =\left\langle 0\boldsymbol{0},\boldsymbol{0}\right\rangle =0\left\langle \boldsymbol{0},\boldsymbol{0}\right\rangle =0\)となるので\(\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}\Rightarrow\left\langle \boldsymbol{x},\boldsymbol{x}\right\rangle =0\)となる。
従って、\(\left\langle \boldsymbol{x},\boldsymbol{x}\right\rangle =0\Leftrightarrow\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}\)となる。
何故なら\(\left\langle \boldsymbol{0},\boldsymbol{x}\right\rangle =\left\langle 0\boldsymbol{0},\boldsymbol{x}\right\rangle =0\left\langle \boldsymbol{0},\boldsymbol{x}\right\rangle =0\)となるからである。
\(\left\langle \boldsymbol{x},\boldsymbol{0}\right\rangle =0\)についても同様である。
\begin{align*} \left\langle z,\alpha\boldsymbol{x}+\beta\boldsymbol{y}\right\rangle & =\overline{\left\langle \alpha\boldsymbol{x}+\beta\boldsymbol{y},\boldsymbol{z}\right\rangle }\\ & =\overline{\alpha\left\langle \boldsymbol{x},\boldsymbol{z}\right\rangle +\beta\left\langle \boldsymbol{y},\boldsymbol{z}\right\rangle }\\ & =\overline{\alpha\left\langle \boldsymbol{x},\boldsymbol{z}\right\rangle }+\overline{\beta\left\langle \boldsymbol{y},\boldsymbol{z}\right\rangle }\\ & =\overline{\alpha}\left\langle \boldsymbol{z},\boldsymbol{x}\right\rangle +\overline{\beta}\left\langle \boldsymbol{z},\boldsymbol{y}\right\rangle \end{align*}
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非退化性\(\left\langle \boldsymbol{x},\boldsymbol{x}\right\rangle =0\Rightarrow\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}\)については逆\(\left\langle \boldsymbol{x},\boldsymbol{x}\right\rangle =0\Leftarrow\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}\)が成り立つので\(\left\langle \boldsymbol{x},\boldsymbol{x}\right\rangle =0\Leftrightarrow\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}\)となる。何故なら、\(\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}\)のとき第1変数に対する線形性より\(\left\langle \boldsymbol{x},\boldsymbol{x}\right\rangle =\left\langle \boldsymbol{0},\boldsymbol{0}\right\rangle =\left\langle 0\boldsymbol{0},\boldsymbol{0}\right\rangle =0\left\langle \boldsymbol{0},\boldsymbol{0}\right\rangle =0\)となるので\(\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}\Rightarrow\left\langle \boldsymbol{x},\boldsymbol{x}\right\rangle =0\)となる。
従って、\(\left\langle \boldsymbol{x},\boldsymbol{x}\right\rangle =0\Leftrightarrow\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}\)となる。
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\(\left\langle \boldsymbol{0},\boldsymbol{x}\right\rangle =\left\langle \boldsymbol{x},\boldsymbol{0}\right\rangle =0\)が成り立つ。何故なら\(\left\langle \boldsymbol{0},\boldsymbol{x}\right\rangle =\left\langle 0\boldsymbol{0},\boldsymbol{x}\right\rangle =0\left\langle \boldsymbol{0},\boldsymbol{x}\right\rangle =0\)となるからである。
\(\left\langle \boldsymbol{x},\boldsymbol{0}\right\rangle =0\)についても同様である。
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\(\left(V,\left\langle \cdot,\cdot\right\rangle \right)\)が内積空間ならば、その部分空間\(\left\langle W,\left\langle \cdot,\cdot\right\rangle \right\rangle \)も内積空間となる。
ページ情報
| タイトル | 内積空間の定義 |
| URL | https://www.nomuramath.com/mtppzdd5/ |
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