同値関係の証明

反射律

\(N\)は\(V\)の部分空間なので、任意の\(\boldsymbol{x}\in V\)に対し、\(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}\in N\)となるので、\(\boldsymbol{x}\sim\boldsymbol{x}\)となる。
これより、反射律を満たす。

対称律

任意の\(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\in V\)に対し、\(\boldsymbol{x}\sim\boldsymbol{y}\)ならば\(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{y}\in N\)であるので、\(\boldsymbol{y}-\boldsymbol{x}=-\left(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{y}\right)\in N\)となるので、\(\boldsymbol{y}\sim\boldsymbol{x}\)となる。
これより、対称律を満たす。

推移律

任意の\(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y},\boldsymbol{z}\in V\)に対し、\(\boldsymbol{x}\sim\boldsymbol{y}\land\boldsymbol{y}\sim\boldsymbol{z}\)ならば\(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{y},\boldsymbol{y}-\boldsymbol{z}\in N\)なので、\(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{z}=\left(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{y}\right)+\left(\boldsymbol{y}-\boldsymbol{z}\right)\in N\)となるので\(\boldsymbol{x}\sim\boldsymbol{z}\)となる。
これより推移律を満たす。

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これらより、反射律・対称律・推移律を満たすので\(\sim\)は同値関係となる。

演算に関して閉じている

2つの演算\(+,\cdot\)について閉じていることを証明する。
任意の\(\boldsymbol{x}+N,\boldsymbol{y}+N\in V/N\)に対して\(\boldsymbol{x}+\boldsymbol{y}\in V\)なので\(\left(\boldsymbol{x}+N\right)+\left(\boldsymbol{y}+N\right)=\left(\boldsymbol{x}+\boldsymbol{y}\right)+N\in V/N\)なので加法について閉じている。
任意の\(c\in K,\boldsymbol{x}+N\in V/N\)に対して\(c\boldsymbol{x}\in N\)なので\(c\left(\boldsymbol{x}+N\right)=\left(c\boldsymbol{x}\right)+N\in V/N\)なのでスカラー倍について閉じている。
これらより、加法・スカラー倍について閉じている。

well-definedの証明

代表元の取り方によらず定義できることの証明をする。

加法

代表元を\(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\)から\(\boldsymbol{x}',\boldsymbol{y}'\)に変えると、
\[ \boldsymbol{x}+N=\boldsymbol{x}'+N \] \[ \boldsymbol{y}+N=\boldsymbol{y}'+N \] となり、
\[ \boldsymbol{x}-\boldsymbol{x}'\in N \] \[ \boldsymbol{y}-\boldsymbol{y}'\in N \] が成り立つ。
これより、\(N\)は部分空間なので、
\[ \boldsymbol{x}-\boldsymbol{x}'+\boldsymbol{y}-\boldsymbol{y}'\in N \] が成り立ち、
\[ \boldsymbol{x}+\boldsymbol{y}-\left(\boldsymbol{x}'+\boldsymbol{y}'\right)\in N \] となる。
これより、
\[ \boldsymbol{x}+\boldsymbol{y}+N=\boldsymbol{x}'+\boldsymbol{y}'+N \] となり、
\begin{align*} \left(\boldsymbol{x}+N\right)+\left(\boldsymbol{y}+N\right) & =\boldsymbol{x}+\boldsymbol{y}+N\\ & =\boldsymbol{x}'+\boldsymbol{y}'+N\\ & =\left(\boldsymbol{x}'+N\right)+\left(\boldsymbol{y}'+N\right) \end{align*} となるので代表元の取り方によらず加法が定義できる。

スカラー倍

\(c\in K\)として、代表元を\(\boldsymbol{x}\)から\(\boldsymbol{x}'\)に変えると、
\[ \boldsymbol{x}+N=\boldsymbol{x}'+N \] となり、
\[ \boldsymbol{x}-\boldsymbol{x}'\in N \] が成り立つ。
これより、\(N\)は部分空間なので、
\[ c\left(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{x}'\right)\in N \] が成り立ち、
\[ c\boldsymbol{x}-c\boldsymbol{x}'\in N \] となる。
これより、
\[ c\boldsymbol{x}+N=c\boldsymbol{x}'+N \] となり、
\begin{align*} c\left(\boldsymbol{x}+N\right) & =c\boldsymbol{x}+N\\ & =c\boldsymbol{x}'+N\\ & =c\left(\boldsymbol{x}'+N\right) \end{align*} となるので代表元の取り方によらずスカラー倍が定義できる。

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これらより、代表元の取り方に関わらず加法とスカラー倍を定義できるので、この定義はwell-difinedとなる。

ベクトル空間になることの証明

\(C\left(\boldsymbol{x}\right),C\left(\boldsymbol{y}\right),C\left(\boldsymbol{z}\right)\in V/N,a,b\in K\)とする。

加法の結合律

\begin{align*} C\left(\boldsymbol{x}\right)+\left(C\left(\boldsymbol{y}\right)+C\left(\boldsymbol{z}\right)\right) & =C\left(\boldsymbol{x}\right)+C\left(\boldsymbol{y}+\boldsymbol{z}\right)\\ & =C\left(\boldsymbol{x}+\boldsymbol{y}+\boldsymbol{z}\right)\\ & =C\left(\boldsymbol{x}+\boldsymbol{y}\right)+C\left(\boldsymbol{z}\right)\\ & =\left(C\left(\boldsymbol{x}\right)+C\left(\boldsymbol{y}\right)\right)+C\left(\boldsymbol{z}\right) \end{align*}

加法の可換律

\begin{align*} C\left(\boldsymbol{x}\right)+C\left(\boldsymbol{y}\right) & =C\left(\boldsymbol{x}+\boldsymbol{y}\right)\\ & =C\left(\boldsymbol{y}+\boldsymbol{x}\right)\\ & =C\left(\boldsymbol{y}\right)+C\left(\boldsymbol{x}\right) \end{align*}

加法単位元

\[ \exists C\left(\boldsymbol{0}\right)\in V,\forall C\left(\boldsymbol{x}\right)\in V,C\left(\boldsymbol{x}\right)+C\left(\boldsymbol{0}\right)=C\left(\boldsymbol{x}+\boldsymbol{0}\right)=C\left(\boldsymbol{x}\right) \]

加法逆元

\[ \forall C\left(\boldsymbol{x}\right)\in V,\exists-C\left(\boldsymbol{x}\right)\in V,C\left(\boldsymbol{x}\right)+C\left(-\boldsymbol{x}\right)=C\left(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{x}\right)=C\left(\boldsymbol{0}\right) \]

スカラー分配律

\begin{align*} a\left(C\left(\boldsymbol{x}\right)+C\left(\boldsymbol{y}\right)\right) & =a\left(C\left(\boldsymbol{x}+\boldsymbol{y}\right)\right)\\ & =C\left(a\boldsymbol{x}+a\boldsymbol{y}\right)\\ & =C\left(a\boldsymbol{x}\right)+C\left(a\boldsymbol{y}\right)\\ & =aC\left(\boldsymbol{x}\right)+aC\left(\boldsymbol{y}\right) \end{align*}

ベクトル分配律

\begin{align*} \left(a+b\right)C\left(\boldsymbol{x}\right) & =C\left(\left(a+b\right)\boldsymbol{x}\right)\\ & =C\left(a\boldsymbol{x}+b\boldsymbol{x}\right)\\ & =C\left(a\boldsymbol{x}\right)+C\left(b\boldsymbol{x}\right)\\ & =aC\left(\boldsymbol{x}\right)+bC\left(\boldsymbol{x}\right) \end{align*}

スカラーとベクトルの結合律

\begin{align*} a\left(bC\left(\boldsymbol{x}\right)\right) & =aC\left(b\boldsymbol{x}\right)\\ & =C\left(a\left(b\boldsymbol{x}\right)\right)\\ & =C\left(\left(ab\right)\boldsymbol{x}\right)\\ & =\left(ab\right)C\left(\boldsymbol{x}\right) \end{align*}

スカラー単位元

\begin{align*} 1C\left(\boldsymbol{x}\right) & =C\left(1\boldsymbol{x}\right)\\ & =C\left(\boldsymbol{x}\right) \end{align*} となり、ベクトル空間であるための条件を満たすので\(V/N\)はベクトル空間になる。

(1)

(a)\(\Rightarrow\)(b)

\(N\)は部分空間なので\(\boldsymbol{0}\in N\)であるので、\(\boldsymbol{x}=\boldsymbol{x}+\boldsymbol{0}\in\boldsymbol{x}+N\)となり、\(\boldsymbol{x}\in\boldsymbol{x}+N=\boldsymbol{y}+N\)となる。
このとき、ある\(\boldsymbol{n}\in N\)が存在し、\(\boldsymbol{x}=\boldsymbol{y}+\boldsymbol{n}\)となるので、\(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{y}=\boldsymbol{n}\in N\)となる。
従って、(a)\(\Rightarrow\)(b)が成り立つ。

(b)\(\Rightarrow\)(a)

\(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{y}=\boldsymbol{n}\)とおくと、\(\boldsymbol{n}=\boldsymbol{x}-\boldsymbol{y}\in N\)となる。
任意の\(\boldsymbol{z}\in\boldsymbol{x}+N\)について、ある\(\boldsymbol{n}'\in N\)が存在し、\(\boldsymbol{z}=\boldsymbol{x}+\boldsymbol{n}'\)となる。
このとき、
\begin{align*} \boldsymbol{z} & =\boldsymbol{x}+\boldsymbol{n}'\\ & =\boldsymbol{x}-\boldsymbol{n}+\boldsymbol{n}+\boldsymbol{n}'\\ & =\boldsymbol{x}-\left(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{y}\right)+\boldsymbol{n}+\boldsymbol{n}'\\ & =\boldsymbol{y}+n+n'\\ & \in\boldsymbol{y}+N\cmt{\because n+n'\in W} \end{align*} となる。
これより、任意の\(\boldsymbol{z}\in\boldsymbol{x}+N\)に対し、\(\boldsymbol{z}\in\boldsymbol{y}+N\)となるので、\(\boldsymbol{x}+N\subseteq\boldsymbol{y}+N\)となる。
\(\boldsymbol{x}\)と\(\boldsymbol{y}\)を入れ替えて同様のことをすると、\(\boldsymbol{y}+N\subseteq\boldsymbol{x}+N\)となるので、\(\boldsymbol{x}+N=\boldsymbol{y}+N\)となる。
従って、(b)\(\Rightarrow\)(a)が成り立つ。

-

これらより、(a)\(\Rightarrow\)(b)と(b)\(\Rightarrow\)(a)が成り立つので、(a)\(\Leftrightarrow\)(b)が成り立つ。

(2)

\(\Rightarrow\)

\(\boldsymbol{v}\in N\)であるとき、\(\boldsymbol{v}-\boldsymbol{0}_{V}\in N\)であり、\(N\)は\(V/N\)の零ベクトル\(\boldsymbol{0}_{V/N}\)であるので、\(\boldsymbol{v}+N=\boldsymbol{0}_{V}+N=N=\boldsymbol{0}_{V/N}\)となる。
従って\(\Rightarrow\)が成り立つ。

\(\Leftarrow\)

\(\boldsymbol{v}+N=\boldsymbol{0}_{V/N}\)であるとき、\(\boldsymbol{v}+N=\boldsymbol{0}_{V/N}=\boldsymbol{0}_{V}+N\)であるので\(N\ni\boldsymbol{v}-\boldsymbol{0}_{V}=\boldsymbol{v}\)となる。
従って\(\Leftarrow\)が成り立つ。

\(\Leftrightarrow\)

これらより\(\Rightarrow\)と\(\Leftarrow\)が成り立つので\(\Leftrightarrow\)が成り立つ。

(3)

\(N\)の基底を\(\boldsymbol{n}_{1},\boldsymbol{n}_{2},\cdots,\boldsymbol{n}_{l}\)として、これに\(V\)のベクトル\(\boldsymbol{v}_{1},\boldsymbol{v}_{2},\cdots,\boldsymbol{v}_{m}\)を加えて\(V\)の基底にすることができる。
まずは\(\boldsymbol{v}_{1}+N,\boldsymbol{v}_{2}+N,\cdots,\boldsymbol{v}_{m}+N\in V/N\)が1次独立となることを示す。
\(V/N\)の零元は\(\boldsymbol{0}+N\)なので、ある\(\left(c_{k}\right)_{k\in\left\{ 1,2,\cdots,m\right\} }\subseteq K\)が存在し、
\[ \sum_{k=1}^{m}c_{k}\left(\boldsymbol{v}_{k}+N\right)=\boldsymbol{0}+N \] が成り立つ。
これは、
\[ \left(\sum_{k=1}^{m}c_{k}\boldsymbol{v}_{k}\right)+N=\boldsymbol{0}+N \] となるので、
\begin{align*} \sum_{k=1}^{m}c_{k}\boldsymbol{v}_{k} & =\sum_{k=1}^{m}c_{k}\boldsymbol{v}_{k}-\boldsymbol{0}\\ & \in N \end{align*} となる。
これより、ある\(\left(d_{k}\right)_{k\in\left\{ 1,2,\cdots,l\right\} }\subseteq K\)が存在し、\(\boldsymbol{n}_{1},\boldsymbol{n}_{2},\cdots,\boldsymbol{n}_{l}\)は\(N\)の基底なので、
\[ \sum_{k=1}^{m}c_{k}\boldsymbol{v}_{k}=\sum_{k=1}^{l}d_{k}\boldsymbol{n}_{k} \] が成り立つ。
この式を移項すると、
\[ \sum_{k=1}^{l}d_{k}\boldsymbol{n}_{k}-\sum_{k=1}^{m}c_{k}\boldsymbol{v}_{k}=\boldsymbol{0} \] となり、\(\boldsymbol{n}_{1},\boldsymbol{n}_{2},\cdots,\boldsymbol{n}_{l},\boldsymbol{v}_{1},\boldsymbol{v}_{2},\cdots,\boldsymbol{v}_{m}\)は\(V\)の基底で1次独立なので、\(d_{1}=d_{2}=\cdots=d_{l}=c_{1}=c_{2}=\cdots=c_{m}=0\)となる。
これより、\(c_{1}=c_{2}=\cdots=c_{m}=0\)なので\(\boldsymbol{v}_{1}+N,\boldsymbol{v}_{2}+N,\cdots,\boldsymbol{v}_{m}+N\)は1次独立となる。
次に\(\boldsymbol{v}_{1}+N,\boldsymbol{v}_{2}+N,\cdots,\boldsymbol{v}_{m}+N\in V/N\)の全域性を示す。
\(V/N\)の任意の元\(\boldsymbol{a}+N\)について、ある\(\boldsymbol{v}\in V\)が存在し、\(\boldsymbol{a}+N=\boldsymbol{v}+N\)となる。
このとき、\(\boldsymbol{n}_{1},\boldsymbol{n}_{2},\cdots,\boldsymbol{n}_{l},\boldsymbol{v}_{1},\boldsymbol{v}_{2},\cdots,\boldsymbol{v}_{m}\)は\(V\)の基底なので、ある\(\left(s_{k}\right)_{k\in\left\{ 1,2,\cdots,l\right\} },\left(t_{k}\right)_{k\in\left\{ 1,2,\cdots,m\right\} }\subseteq K\)が存在し、
\[ \boldsymbol{v}=\sum_{k=1}^{l}s_{k}\boldsymbol{n}_{k}+\sum_{k=1}^{m}t_{k}\boldsymbol{v}_{k} \] となる。
これを移項すると、
\begin{align*} \boldsymbol{v}-\sum_{k=1}^{m}t_{k}\boldsymbol{v}_{k} & =\sum_{k=1}^{l}s_{k}\boldsymbol{n}_{k}\\ & \in N \end{align*} となるので、
\begin{align*} \boldsymbol{a}+N & =\boldsymbol{v}+N\\ & =\sum_{k=1}^{m}t_{k}\boldsymbol{v}_{k}+N\\ & =\sum_{k=1}^{m}t_{k}\left(\boldsymbol{v}_{k}+N\right) \end{align*} となる。
これより、\(V/N\)の任意の元\(\boldsymbol{a}+N\)は\(\boldsymbol{v}_{1}+N,\boldsymbol{v}_{2}+N,\cdots,\boldsymbol{v}_{m}+N\in V/N\)の1次結合で表されるので全域性を満たす。
これらより、\(\boldsymbol{v}_{1}+N,\boldsymbol{v}_{2}+N,\cdots,\boldsymbol{v}_{m}+N\in V/N\)は1次独立で全域性を満たすので基底となり\(\dim\left(V/N\right)=m\)となる。
また、\(N\)の基底は\(\boldsymbol{n}_{1},\boldsymbol{n}_{2},\cdots,\boldsymbol{n}_{l}\)なので\(\dim N=l\)となり、\(V\)の基底は\(\boldsymbol{n}_{1},\boldsymbol{n}_{2},\cdots,\boldsymbol{n}_{l},\boldsymbol{v}_{1},\boldsymbol{v}_{2},\cdots,\boldsymbol{v}_{m}\)なので\(\dim V=l+m\)となる。
故に\(\dim\left(V/N\right)=m=\left(m+l\right)-l=\dim V-\dim N\)が成り立つので題意は成り立つ。