(1)

\(\dim\left(W_{1}\cap W_{2}\right)=d_{0},\dim\left(W_{1}\right)-d_{0}=d_{1},\dim\left(W_{2}\right)-d_{0}=d_{2}\)とする。
このとき、\(W_{1}\cap W_{2}\)の基底は\(\left\{ \boldsymbol{w}_{0,1},\boldsymbol{w}_{0,2},\cdots,\boldsymbol{w}_{0,d_{0}}\right\} \)と表され、\(W_{1}\)の基底は\(W_{1}\cap W_{2}\subseteq W_{1}\)なので、\(\left\{ \boldsymbol{w}_{0,1},\boldsymbol{w}_{0,2},\cdots,\boldsymbol{w}_{0,d_{0}},\boldsymbol{w}_{1,1},\boldsymbol{w}_{1,2},\cdots,\boldsymbol{w}_{1,d_{1}}\right\} \)で表される。
同様に\(W_{2}\)の基底は\(W_{1}\cap W_{2}\subseteq W_{2}\)なので、\(\left\{ \boldsymbol{w}_{0,1},\boldsymbol{w}_{0,2},\cdots,\boldsymbol{w}_{0,d_{0}},\boldsymbol{w}_{2,1},\boldsymbol{w}_{2,2},\cdots,\boldsymbol{w}_{2,d_{2}}\right\} \)で表される。
任意の\(\boldsymbol{x}\in W_{1}+W_{2}\)に対し、ある\(x_{1}\in W_{1},x_{2}\in W_{2}\)が存在し、\(\boldsymbol{x}=\boldsymbol{x}_{1}+\boldsymbol{x}_{2}\)とできるので、\(W_{1}+W_{2}\)の元は\(\left\{ \boldsymbol{w}_{0,1},\boldsymbol{w}_{0,2},\cdots,\boldsymbol{w}_{0,d_{0}},\boldsymbol{w}_{1,1},\boldsymbol{w}_{1,2},\cdots,\boldsymbol{w}_{1,d_{1}},\boldsymbol{w}_{2,1},\boldsymbol{w}_{2,2},\cdots,\boldsymbol{w}_{2,d_{2}}\right\} \)の1次結合で表される。
このとき、\(c_{a,b}\in K\)として、\(\left\{ \boldsymbol{w}_{0,1},\boldsymbol{w}_{0,2},\cdots,\boldsymbol{w}_{0,d_{0}},\boldsymbol{w}_{1,1},\boldsymbol{w}_{1,2},\cdots,\boldsymbol{w}_{1,d_{1}},\boldsymbol{w}_{2,1},\boldsymbol{w}_{2,2},\cdots,\boldsymbol{w}_{2,d_{2}}\right\} \)が1次独立であることを示す。
\[ \sum_{k=1}^{d_{0}}c_{0,k}\boldsymbol{w}_{0,k}+\sum_{k=1}^{d_{1}}c_{1,k}\boldsymbol{w}_{1,k}+\sum_{k=1}^{d_{2}}c_{2,k}\boldsymbol{w}_{2,k}=\boldsymbol{0} \] として移項すると、
\[ \sum_{k=1}^{d_{0}}c_{0,k}\boldsymbol{w}_{0,k}+\sum_{k=1}^{d_{1}}c_{1,k}\boldsymbol{w}_{1,k}=-\sum_{k=1}^{d_{2}}c_{2,k}\boldsymbol{w}_{2,k} \] となる。
左辺は\(W_{1}\)の元であり、右辺は\(W_{2}\)の元であるので左辺右辺共に\(W_{1}\cap W_{2}\)の元になる。
これより、右辺は\(W_{1}\cap W_{2}\)の元なので\(W_{1}\cap W_{2}\)の基底で表すことができ、
\[ -\sum_{k=1}^{d_{2}}c_{2,k}\boldsymbol{w}_{2,k}=\sum_{k=1}^{d_{0}}c_{3,k}\boldsymbol{w}_{0,k} \] となり移項すると、
\[ \sum_{k=1}^{d_{0}}c_{3,k}\boldsymbol{w}_{0,k}+\sum_{k=1}^{d_{2}}c_{2,k}\boldsymbol{w}_{2,k}=\boldsymbol{0} \] となる。
ここで、\(\left\{ \boldsymbol{w}_{0,1},\boldsymbol{w}_{0,2},\cdots,\boldsymbol{w}_{0,d_{0}},\boldsymbol{w}_{2,1},\boldsymbol{w}_{2,2},\cdots,\boldsymbol{w}_{2,d_{2}}\right\} \)は\(W_{2}\)の基底なので\(c_{3,1}=c_{3,2}=\cdots=c_{3,d_{0}}=c_{2,1}=c_{2,2}=\cdots=c_{2,d_{2}}=0\)となる。
これより、
\[ \sum_{k=1}^{d_{0}}c_{0,k}\boldsymbol{w}_{0,k}+\sum_{k=1}^{d_{1}}c_{1,k}\boldsymbol{w}_{1,k}=0 \] となり、\(\left\{ \boldsymbol{w}_{0,1},\boldsymbol{w}_{0,2},\cdots,\boldsymbol{w}_{0,d_{0}},\boldsymbol{w}_{1,1},\boldsymbol{w}_{1,2},\cdots,\boldsymbol{w}_{1,d_{1}}\right\} \)は\(W_{1}\)の基底なので\(c_{0,1}=c_{0,2}=\cdots=c_{0,d_{0}}=c_{1,1}=c_{1,2}=\cdots=c_{1,d_{1}}=0\)となる。
従って、\(c_{0,1}=c_{0,2}=\cdots=c_{0,d_{0}}=c_{1,1}=c_{1,2}=\cdots=c_{1,d_{1}}=c_{2,1}=c_{2,2}=\cdots=c_{2,d_{2}}=0\)となり、\(\left\{ \boldsymbol{w}_{0,1},\boldsymbol{w}_{0,2},\cdots,\boldsymbol{w}_{0,d_{0}},\boldsymbol{w}_{1,1},\boldsymbol{w}_{1,2},\cdots,\boldsymbol{w}_{1,d_{1}},\boldsymbol{w}_{2,1},\boldsymbol{w}_{2,2},\cdots,\boldsymbol{w}_{2,d_{2}}\right\} \)は1次独立となる。
これらより、
\begin{align*} \dim\left(W_{1}+W_{2}\right) & =d_{0}+d_{1}+d_{2}\\ & =d_{0}+\dim\left(W_{1}\right)+d_{0}+\dim\left(W_{2}\right)-d_{0}\\ & =\dim\left(W_{1}\right)+\dim\left(W_{2}\right)-d_{0}\\ & =\dim\left(W_{1}\right)+\dim\left(W_{2}\right)-\dim\left(W_{1}\cap W_{2}\right) \end{align*} となるので、
\[ \dim\left(W_{1}\right)+\dim\left(W_{2}\right)=\dim\left(W_{1}+W_{2}\right)+\dim\left(W_{1}\cap W_{2}\right) \] となる。
従って題意は成り立つ。

(2)

\(r=1\)のときは明らかに成り立つ。
\(r=m\)のとき成り立つと仮定する。
ここで\(W=W_{1}+W_{2}+\cdots+W_{m}\)とおくと、\(W\)は部分空間であるので、
\begin{align*} \dim\left(W_{1}+W_{2}+\cdots+W_{m}+W_{m+1}\right) & =\dim\left(W+W_{m+1}\right)\\ & =\dim W+\dim W_{m+1}-\dim\left(W\cap W_{m+1}\right)\\ & \leq\dim W+\dim W_{m+1}\cmt{\because0\leq\dim\left(W\cap W_{m+1}\right)}\\ & =\dim\left(W_{1}+W_{2}+\cdots+W_{m}\right)+\dim W_{m+1}\\ & \leq\sum_{k=1}^{m}\dim W_{k}+\dim W_{m+1}\cmt{\because\dim\left(W_{1}+W_{2}+\cdots+W_{m}\right)\leq\sum_{k=1}^{m}\dim W_{k}}\\ & =\sum_{k=1}^{m+1}\dim W_{k} \end{align*} となり、\(r=m+1\)でも成り立つ。
従って数学的帰納法より題意は成り立つ。

(3)

\(\Rightarrow\)

\(r=1\)のときは明らかに成り立つ。
\(r=m\)のとき、成り立つと仮定する。
\(j\in\left\{ 1,2,\cdots,r\right\} \)として、\(U_{j}=W_{1}+W_{2}+\cdots+W_{j}\)とおく。
\(W_{1}+W_{2}+\cdots+W_{m+1}\)が直和\(W_{1}\oplus W_{2}\oplus\cdots\oplus W_{m+1}\)であるとき、任意の\(i\in\left\{ 1,2,\cdots,m\right\} \)について、\(U_{i}\cap W_{i+1}=\left\{ \boldsymbol{0}_{V}\right\} \)であるので、
\begin{align*} \dim\left(W_{1}+W_{2}+\cdots+W_{m}+W_{m+1}\right) & =\dim\left(U_{m}+W_{m+1}\right)\\ & =\dim U_{m}+\dim W_{m+1}-\dim\left(U_{m}\cap W_{m+1}\right)\\ & =\dim U_{m}+\dim W_{m+1}\cmt{\because U_{m}\cap W_{m+1}=\left\{ \boldsymbol{0}_{V}\right\} }\\ & =\dim\left(W_{1}+W_{2}+\cdots+W_{m}\right)+\dim W_{m+1}\\ & =\sum_{k=1}^{m}\dim W_{k}+\dim W_{m+1}\\ & =\sum_{k=1}^{m+1}\dim W_{k} \end{align*} となり、\(r=m+1\)でも成り立つ。
従って、数学的帰納法より\(\dim\left(W_{1}+W_{2}+\cdots+W_{r}\right)=\sum_{k=1}^{r}\dim W_{k}\)が成り立つ。
故に\(\Rightarrow\)が成り立つ。

\(\Leftarrow\)

\(j\in\left\{ 1,2,\cdots,r\right\} \)として、\(U_{j}=W_{1}+W_{2}+\cdots+W_{j}\)とおく。
このとき、
\begin{align*} \dim U_{r} & =\dim\left(W_{1}+W_{2}+\cdots+W_{r-1}+W_{r}\right)\\ & =\dim\left(U_{r-1}+W_{r}\right)\\ & =\dim U_{r-1}+\dim W_{r}-\dim\left(U_{r-1}\cap W_{r}\right)\mrk*\\ & =\dim U_{1}+\sum_{k=1}^{r-1}\left(\dim U_{k+1}-\dim U_{k}\right)\\ & =\dim U_{1}+\sum_{k=1}^{r-1}\left(\dim W_{k+1}-\dim\left(U_{k}\cap W_{k+1}\right)\right)\\ & =\dim U_{1}+\sum_{k=1}^{r-1}\dim W_{k+1}-\sum_{k=1}^{r-1}\dim\left(U_{k}\cap W_{k+1}\right)\\ & =\dim W_{1}+\sum_{k=2}^{r}\dim W_{k}-\sum_{k=1}^{r-1}\dim\left(U_{k}\cap W_{k+1}\right)\\ & =\sum_{k=1}^{r}\dim W_{k}-\sum_{k=1}^{r-1}\dim\left(U_{k}\cap W_{k+1}\right) \end{align*} となるので、
\begin{align*} \dim\left(W_{1}+W_{2}+\cdots+W_{r}\right) & =\dim U_{r}\\ & =\sum_{k=1}^{r}\dim W_{k}-\sum_{k=1}^{r-1}\dim\left(U_{k}\cap W_{k+1}\right) \end{align*} となる。
また、条件より\(\dim\left(W_{1}+W_{2}+\cdots+W_{r}\right)=\sum_{k=1}^{r}\dim W_{k}\)なので、
\[ \sum_{k=1}^{r-1}\dim\left(U_{k}\cap W_{k+1}\right)=0 \] となり、任意の\(k\in\left\{ 1,2,\cdots,r-1\right\} \)について、\(0\leq\dim\left(U_{k}\cap W_{k+1}\right)\)であるので、\(\dim\left(U_{k}\cap W_{k+1}\right)=0\)となり、\(U_{k}\cap W_{k+1}=\left\{ \boldsymbol{0}_{V}\right\} \)となる。
これより、任意の\(k\in\left\{ 1,2,\cdots,r-1\right\} \)について、\(\left(W_{1}+W_{2}+\cdots+W_{k}\right)\cap W_{k+1}=U_{k}\cap W_{k+1}=\left\{ \boldsymbol{0}_{V}\right\} \)なるので、\(W_{1}+W_{2}+\cdots+W_{r}\)は直和となる。
故に\(\Leftarrow\)が成り立つ。

\(\Leftrightarrow\)

これらより\(\Rightarrow\)と\(\Leftarrow\)が成り立つので\(\Leftrightarrow\)が成り立つ。