ベクトルの基底と成分の変換
ベクトルの基底と成分の変換
体\(K\)上の\(n\)次元ベクトル空間\(V\)があり、2つの基底\(\left\{ \boldsymbol{x}_{1},\boldsymbol{x}_{2},\cdots,\boldsymbol{x}_{n}\right\} ,\left\{ \boldsymbol{y}_{1},\boldsymbol{y}_{2},\cdots,\boldsymbol{y}_{n}\right\} \)があるとする。
\[ \left(\boldsymbol{y}_{1},\boldsymbol{y}_{2},\cdots,\boldsymbol{y}_{n}\right)=\left(\boldsymbol{x}_{1},\boldsymbol{x}_{2},\cdots,\boldsymbol{x}_{n}\right)P \] となる。
この\(P\)を\(\left\{ \boldsymbol{x}_{k}\right\} \)から\(\left\{ \boldsymbol{y}_{k}\right\} \)への基底の変換行列という。
基底の変換行列は正則となる。
すなわち、
\begin{align*} \boldsymbol{v} & =\left(\boldsymbol{x}_{1},\boldsymbol{x}_{2},\cdots,\boldsymbol{x}_{n}\right)\left(\begin{array}{c} a_{1}\\ a_{2}\\ \vdots\\ a_{n} \end{array}\right)\\ & =\left(\boldsymbol{y}_{1},\boldsymbol{y}_{2},\cdots,\boldsymbol{y}_{n}\right)\left(\begin{array}{c} b_{1}\\ b_{2}\\ \vdots\\ b_{n} \end{array}\right) \end{align*} である。
基底の変換行列\(P\)を用いると、
\[ \left(\begin{array}{c} b_{1}\\ b_{2}\\ \vdots\\ b_{n} \end{array}\right)=P^{-1}\left(\begin{array}{c} a_{1}\\ a_{2}\\ \vdots\\ a_{n} \end{array}\right) \] となる。
体\(K\)上の\(n\)次元ベクトル空間\(V\)があり、2つの基底\(\left\{ \boldsymbol{x}_{1},\boldsymbol{x}_{2},\cdots,\boldsymbol{x}_{n}\right\} ,\left\{ \boldsymbol{y}_{1},\boldsymbol{y}_{2},\cdots,\boldsymbol{y}_{n}\right\} \)があるとする。
(1)基底の変換
このとき、ある\(n\)次正方行列\(P\)が唯1つ存在し、\[ \left(\boldsymbol{y}_{1},\boldsymbol{y}_{2},\cdots,\boldsymbol{y}_{n}\right)=\left(\boldsymbol{x}_{1},\boldsymbol{x}_{2},\cdots,\boldsymbol{x}_{n}\right)P \] となる。
この\(P\)を\(\left\{ \boldsymbol{x}_{k}\right\} \)から\(\left\{ \boldsymbol{y}_{k}\right\} \)への基底の変換行列という。
基底の変換行列は正則となる。
(2)成分の変換
\(\boldsymbol{v}\in V\)として\(\left(a_{1},a_{2},\cdots,a_{n}\right)\)を基底\(\left(\boldsymbol{x}_{1},\boldsymbol{x}_{2},\cdots,\boldsymbol{x}_{n}\right)\)に関する\(\boldsymbol{v}\)の成分、\(\left(b_{1},b_{2},\cdots,b_{n}\right)\)を基底\(\left(\boldsymbol{y}_{1},\boldsymbol{y}_{2},\cdots,\boldsymbol{y}_{n}\right)\)に関する\(\boldsymbol{v}\)の成分とする。すなわち、
\begin{align*} \boldsymbol{v} & =\left(\boldsymbol{x}_{1},\boldsymbol{x}_{2},\cdots,\boldsymbol{x}_{n}\right)\left(\begin{array}{c} a_{1}\\ a_{2}\\ \vdots\\ a_{n} \end{array}\right)\\ & =\left(\boldsymbol{y}_{1},\boldsymbol{y}_{2},\cdots,\boldsymbol{y}_{n}\right)\left(\begin{array}{c} b_{1}\\ b_{2}\\ \vdots\\ b_{n} \end{array}\right) \end{align*} である。
基底の変換行列\(P\)を用いると、
\[ \left(\begin{array}{c} b_{1}\\ b_{2}\\ \vdots\\ b_{n} \end{array}\right)=P^{-1}\left(\begin{array}{c} a_{1}\\ a_{2}\\ \vdots\\ a_{n} \end{array}\right) \] となる。
\(\mathbb{R}\)上のベクトル\(\mathbb{R}^{2}=\left\{ \left(x,y\right);x,y\in\mathbb{R}\right\} \)で通常のベクトルの演算としたベクトル空間を考える。
基底\(\boldsymbol{x}_{1}=\left(0,1\right),\boldsymbol{x}_{2}=\left(1,0\right)\)と\(\boldsymbol{y}_{1}=\left(0,1\right),\boldsymbol{y}_{2}=\left(1,1\right)\)があるとき、\(\left\{ \boldsymbol{x}_{k}\right\} \)から\(\left\{ \boldsymbol{y}_{k}\right\} \)への基底の変換行列\(P\)は
\[ \left(\boldsymbol{y}_{1},\boldsymbol{y}_{2}\right)=\left(\boldsymbol{x}_{1},\boldsymbol{x}_{2}\right)P \] より、
\begin{align*} P & =\left(\boldsymbol{x}_{1},\boldsymbol{x}_{2}\right)^{-1}\left(\boldsymbol{y}_{1},\boldsymbol{y}_{2}\right)\\ & =\left(\begin{array}{cc} 0 & 1\\ 1 & 0 \end{array}\right)^{-1}\left(\begin{array}{cc} 0 & 1\\ 1 & 1 \end{array}\right)\\ & =\left(\begin{array}{cc} 0 & 1\\ 1 & 0 \end{array}\right)\left(\begin{array}{cc} 0 & 1\\ 1 & 1 \end{array}\right)\\ & =\left(\begin{array}{cc} 1 & 1\\ 0 & 1 \end{array}\right) \end{align*} となる。
\(\boldsymbol{v}\in\mathbb{R}^{2}\)の基底\(\left\{ \boldsymbol{x}_{k}\right\} \)でのベクトルの成分を\(\left(a_{1},a_{2}\right)\)、基底\(\left\{ \boldsymbol{y}_{k}\right\} \)でのベクトルの成分\(\left(b_{1},b_{2}\right)\)とする。
\(\boldsymbol{v}=\left(1,2\right)\)とすると\(\left(1,2\right)=\boldsymbol{x}_{1}+2\boldsymbol{x}_{2}\)となるので基底\(\left\{ \boldsymbol{x}_{k}\right\} \)でのベクトルの成分は\(\left(1,2\right)\)となる。
これより、基底\(\left\{ \boldsymbol{y}_{k}\right\} \)でのベクトルの成分\(\left(b_{1},b_{2}\right)\)は
\begin{align*} \left(\begin{array}{c} b_{1}\\ b_{2} \end{array}\right) & =P^{-1}\left(\begin{array}{c} a_{1}\\ a_{2} \end{array}\right)\\ & =\left(\begin{array}{cc} 1 & 1\\ 0 & 1 \end{array}\right)^{-1}\left(\begin{array}{c} 1\\ 2 \end{array}\right)\\ & =\left(\begin{array}{cc} 1 & -1\\ 0 & 1 \end{array}\right)\left(\begin{array}{c} 1\\ 2 \end{array}\right)\\ & =\left(\begin{array}{c} -1\\ 2 \end{array}\right) \end{align*} となるので\(\left(1,2\right)=-\boldsymbol{y}_{1}+2\boldsymbol{y}_{2}\)となる。
基底\(\boldsymbol{x}_{1}=\left(0,1\right),\boldsymbol{x}_{2}=\left(1,0\right)\)と\(\boldsymbol{y}_{1}=\left(0,1\right),\boldsymbol{y}_{2}=\left(1,1\right)\)があるとき、\(\left\{ \boldsymbol{x}_{k}\right\} \)から\(\left\{ \boldsymbol{y}_{k}\right\} \)への基底の変換行列\(P\)は
\[ \left(\boldsymbol{y}_{1},\boldsymbol{y}_{2}\right)=\left(\boldsymbol{x}_{1},\boldsymbol{x}_{2}\right)P \] より、
\begin{align*} P & =\left(\boldsymbol{x}_{1},\boldsymbol{x}_{2}\right)^{-1}\left(\boldsymbol{y}_{1},\boldsymbol{y}_{2}\right)\\ & =\left(\begin{array}{cc} 0 & 1\\ 1 & 0 \end{array}\right)^{-1}\left(\begin{array}{cc} 0 & 1\\ 1 & 1 \end{array}\right)\\ & =\left(\begin{array}{cc} 0 & 1\\ 1 & 0 \end{array}\right)\left(\begin{array}{cc} 0 & 1\\ 1 & 1 \end{array}\right)\\ & =\left(\begin{array}{cc} 1 & 1\\ 0 & 1 \end{array}\right) \end{align*} となる。
\(\boldsymbol{v}\in\mathbb{R}^{2}\)の基底\(\left\{ \boldsymbol{x}_{k}\right\} \)でのベクトルの成分を\(\left(a_{1},a_{2}\right)\)、基底\(\left\{ \boldsymbol{y}_{k}\right\} \)でのベクトルの成分\(\left(b_{1},b_{2}\right)\)とする。
\(\boldsymbol{v}=\left(1,2\right)\)とすると\(\left(1,2\right)=\boldsymbol{x}_{1}+2\boldsymbol{x}_{2}\)となるので基底\(\left\{ \boldsymbol{x}_{k}\right\} \)でのベクトルの成分は\(\left(1,2\right)\)となる。
これより、基底\(\left\{ \boldsymbol{y}_{k}\right\} \)でのベクトルの成分\(\left(b_{1},b_{2}\right)\)は
\begin{align*} \left(\begin{array}{c} b_{1}\\ b_{2} \end{array}\right) & =P^{-1}\left(\begin{array}{c} a_{1}\\ a_{2} \end{array}\right)\\ & =\left(\begin{array}{cc} 1 & 1\\ 0 & 1 \end{array}\right)^{-1}\left(\begin{array}{c} 1\\ 2 \end{array}\right)\\ & =\left(\begin{array}{cc} 1 & -1\\ 0 & 1 \end{array}\right)\left(\begin{array}{c} 1\\ 2 \end{array}\right)\\ & =\left(\begin{array}{c} -1\\ 2 \end{array}\right) \end{align*} となるので\(\left(1,2\right)=-\boldsymbol{y}_{1}+2\boldsymbol{y}_{2}\)となる。
(1)
存在かつ一意性
\(\boldsymbol{x}_{1},\boldsymbol{x}_{2},\cdots,\boldsymbol{x}_{n}\)は\(V\)の基底なので、任意の\(\left(\boldsymbol{y}_{k}\right)_{k\in\left\{ 1,2,\cdots,n\right\} }\subseteq V\)についてある\(\left(p_{j,k}\right)_{j,k\in\left\{ 1,2,\cdots,n\right\} }\subseteq K\)が唯1つ存在し、\[ \boldsymbol{y}_{k}=\sum_{j=1}^{n}\boldsymbol{x}_{j}p_{j,k} \] となる。
これより、
\[ P=\left(\begin{array}{cccc} p_{1,1} & p_{1,2} & \cdots & p_{1,n}\\ p_{2,1} & p_{2,2} & \cdots & p_{2,n}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ p_{n,1} & p_{n,2} & \cdots & p_{n,n} \end{array}\right) \] とおくと、
\begin{align*} \left(\boldsymbol{y}_{1},\boldsymbol{y}_{2},\cdots,\boldsymbol{y}_{n}\right) & =\left(\sum_{j=1}^{n}\boldsymbol{x}_{j}p_{j,1},\sum_{j=1}^{n}\boldsymbol{x}_{j}p_{j,2},\cdots,\sum_{j=1}^{n}\boldsymbol{x}_{j}p_{j,n}\right)\\ & =\left(\sum_{j=1}^{n}\boldsymbol{x}_{j}p_{j,k}\right)_{k\in\left\{ 1,2,\cdots,n\right\} }\\ & =\left(\left(\boldsymbol{x}_{1},\boldsymbol{x}_{2},\cdots,\boldsymbol{x}_{n}\right)\left(\begin{array}{c} p_{1,k}\\ p_{2,k}\\ \vdots\\ p_{n,k} \end{array}\right)\right)_{k\in\left\{ 1,2,\cdots,n\right\} }\\ & =\left(\boldsymbol{x}_{1},\boldsymbol{x}_{2},\cdots,\boldsymbol{x}_{n}\right)\left(\begin{array}{cccc} p_{1,1} & p_{1,2} & \cdots & p_{1,n}\\ p_{2,1} & p_{2,2} & \cdots & p_{2,n}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ p_{n,1} & p_{n,2} & \cdots & p_{n,n} \end{array}\right)\\ & =\left(\boldsymbol{x}_{1},\boldsymbol{x}_{2},\cdots,\boldsymbol{x}_{n}\right)P \end{align*} となる。
基底の変換行列は正則となることの証明
\(\left\{ \boldsymbol{y}_{k}\right\} \)から\(\left\{ \boldsymbol{x}_{k}\right\} \)への変換行列\(Q\)も存在し、\(\left\{ \boldsymbol{x}_{k}\right\} \rightarrow\left\{ \boldsymbol{y}_{k}\right\} \rightarrow\left\{ \boldsymbol{x}_{k}\right\} \)と基底を変換するとこのときの変換行列は\(QP\)となる。この変換は恒等変換なので単位行列であるので\(PQ=I\)より\(Q=P^{-1}\)となり逆行列が存在するので正則となる。
(2)
\[ \left(\boldsymbol{x}_{1},\boldsymbol{x}_{2},\cdots,\boldsymbol{x}_{n}\right)\left(\begin{array}{c} a_{1}\\ a_{2}\\ \vdots\\ a_{n} \end{array}\right)=\left(\boldsymbol{y}_{1},\boldsymbol{y}_{2},\cdots,\boldsymbol{y}_{n}\right)\left(\begin{array}{c} b_{1}\\ b_{2}\\ \vdots\\ b_{n} \end{array}\right) \] なので、基底の変換より、\[ \left(\boldsymbol{x}_{1},\boldsymbol{x}_{2},\cdots,\boldsymbol{x}_{n}\right)\left(\begin{array}{c} a_{1}\\ a_{2}\\ \vdots\\ a_{n} \end{array}\right)=\left(\boldsymbol{x}_{1},\boldsymbol{x}_{2},\cdots,\boldsymbol{x}_{n}\right)P\left(\begin{array}{c} b_{1}\\ b_{2}\\ \vdots\\ b_{n} \end{array}\right) \] となる。
これより、
\[ \left(\begin{array}{c} a_{1}\\ a_{2}\\ \vdots\\ a_{n} \end{array}\right)=P\left(\begin{array}{c} b_{1}\\ b_{2}\\ \vdots\\ b_{n} \end{array}\right) \] となるので、
\[ \left(\begin{array}{c} b_{1}\\ b_{2}\\ \vdots\\ b_{n} \end{array}\right)=P^{-1}\left(\begin{array}{c} a_{1}\\ a_{2}\\ \vdots\\ a_{n} \end{array}\right) \]
ページ情報
| タイトル | ベクトルの基底と成分の変換 |
| URL | https://www.nomuramath.com/adugrkmy/ |
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ベクトルの基底に関する成分
\[
\boldsymbol{v}=\left(\boldsymbol{v}_{1},\boldsymbol{v}_{2},\cdots,\boldsymbol{v}_{n}\right)\left(\begin{array}{c}
a_{1}\\
a_{2}\\
\vdots\\
a_{n}
\end{array}\right)
\]
ベクトル空間の基底の定義
ベクトル空間での有限次元と無限次元の定義
和空間・積集合・部分集合から生成・像・逆像と部分空間
部分空間の和空間・積集合・像・逆像は部分空間になる。