和空間・積集合・部分集合から生成・像・逆像と部分空間

by nomura · 2026年2月26日

和空間・積集合・部分集合から生成・像・逆像と部分空間
和空間・積集合・部分集合から生成・像・逆像について次が成り立つ。

(1)和空間

体$K$上のベクトル空間$V$と任意個の部分空間族$\left\{ W_{\lambda}\right\} _{\lambda\in\Lambda}\subseteq2^{V}$があるとき、有限個の和$\sum_{\lambda\in\Lambda}W_{\lambda}=\left\{ \sum_{k\in\left\{ 1,2,\cdots,n\right\} }w_{\lambda_{k}};n\in\mathbb{N},\left(\lambda_{k}\right)_{k\in\left\{ 1,2,\cdots,n\right\} }\subseteq\Lambda,w_{\lambda_{k}}\in W_{\lambda_{k}}\right\} $は部分空間となり、これを和空間という。

(2)積集合

体$K$上のベクトル空間$V$と任意個の部分空間族$\left\{ W_{\lambda}\right\} _{\lambda\in\Lambda}\subseteq2^{V}$があるとき、積集合$\bigcap_{\lambda\in\Lambda}W_{\lambda}=\left\{ w;\forall\lambda\in\Lambda;w\in W_{\lambda}\right\} $は部分空間となり、これを積集合という。

(3)部分集合から生成

体$K$上のベクトル空間$V$の部分集合$S\subseteq V$があるとき、$S$の元の線形結合全体$W=\left\{ \sum_{j=1}^{k}c_{j}s_{j};j\in\left\{ 1,2,\cdots,k\right\} ,c_{j}\in K,s_{j}\in S\right\} $は部分空間となり、これを部分集合$S$から生成される部分空間という。

(4)像

体$K$上のベクトル空間$V_{1},V_{2}$と線形写像$f:V_{1}\rightarrow V_{2}$があるとき、$V_{1}$の任意の部分空間$W_{1}\subseteq V_{1}$に対し、$f\left(W_{1}\right)=\left\{ f\left(\boldsymbol{w}_{1}\right);\boldsymbol{w}_{1}\in W_{1}\right\} $は$V_{2}$の部分空間となる。

(5)逆像

体$K$上のベクトル空間$V_{1},V_{2}$と線形写像$f:V_{1}\rightarrow V_{2}$があるとき、$V_{2}$の任意の部分空間$W_{2}\subseteq V_{2}$に対し、$f^{\bullet}\left(W_{2}\right)=\left\{ \boldsymbol{w}_{1}\in W_{1};f\left(\boldsymbol{w}_{1}\right)\in W_{2}\right\} $は$V_{1}$の部分空間となる。

(6)和集合

体$K$上のベクトル空間$V$とその部分空間$W_{1},W_{2}$があるとき、和集合$W_{1}\cup W_{2}$が$V$の部分空間であることと、$W_{1}\subseteq W_{2}$または$W_{2}\subseteq W_{1}$となることは同値である。

(1)和集合は部分空間とは限らない

体$K$上のベクトル空間$V$とその部分空間$W_{1},W_{2}$があるとき、和集合$W_{1}\cup W_{2}=\left\{ w;w\in W_{1}\lor w\in W_{2}\right\} $は部分空間とならない。
反例で示す。
実数$\mathbb{R}$上のベクトル空間$\mathbb{R}^{2}$と部分空間$W_{1}=\left\{ \left(x,y\right);x=0\right\} ,W_{2}=\left\{ \left(x,y\right);y=0\right\} $で考える。
このとき、$W_{1}\cup W_{2}=\left\{ \left(x,y\right);x=0\lor y=0\right\} $であり、$\left(0,1\right)\in W_{1},\left(1,0\right)\in W_{2}$であるが、$\left(0,1\right)+\left(1,0\right)=\left(1,1\right)\notin W_{1}\cup W_{2}$となるので部分空間ではない。

(2)像と核

ベクトル空間$V_{1},V_{2},$と線形写像$f:V_{1}\rightarrow V_{2}$があるとき、像$\im f=f\left(V_{1}\right)$は$V_{2}$の部分空間であり、核$\ker f=f^{\bullet}\left(\boldsymbol{0}\right)$は$V_{1}$の部分空間となる。
何故なら、像については、$V_{1}$はベクトル空間なので$V_{1}$は部分空間であり、その像$f\left(V_{1}\right)=\im f$は部分空間になるからである。
核については、$\left\{ \boldsymbol{0}\right\} $は$V_{2}$の部分空間であり、その逆像$f^{\bullet}\left(\boldsymbol{0}\right)=\ker f$は部分空間になるからである。

(1)

零元

任意の$\lambda\in\Lambda$について、$W_{\lambda}$は$V$の部分空間なので$V$の零元$0_{V}$を$W_{\lambda}$は元$0_{V}\in W_{\lambda}$にもつ。
このとき、$0_{V}\in W_{\lambda}=\left\{ w_{\lambda};\lambda\in\Lambda,w_{\lambda}\in W_{\lambda}\right\} \subseteq\sum_{\lambda\in\Lambda}W_{\lambda}$となるので、$\sum_{\lambda\in\Lambda}W_{\lambda}$は零元$0_{V}$をもつ。

和

任意に$x,y\in\sum_{\lambda\in\Lambda}W_{\lambda}$をとる。
このとき、ある自然数$n,m\in\mathbb{N}$とある$\left(\mu_{k}\right)_{k\in\left\{ 1,2,\cdots,n\right\} },\left(\nu_{k}\right)_{k\in\left\{ 1,2,\cdots,m\right\} }\subseteq\Lambda$とある$\left(x_{\mu_{k}}\right)_{k\in\left\{ 1,2,\cdots,n\right\} }\in\prod_{k\in\left\{ 1,2,\cdots,n\right\} }W_{\mu_{k}},\left(y_{\nu_{k}}\right)_{k\in\left\{ 1,2,\cdots,m\right\} }\in\prod_{k\in\left\{ 1,2,\cdots,m\right\} }W_{\nu_{k}}$が存在し、$x=\sum_{k\in\left\{ 1,2,\cdots,n\right\} }x_{\mu_{k}},y=\sum_{k\in\left\{ 1,2,\cdots,m\right\} }y_{\nu_{k}}$と表すことができる。
このとき、
\begin{align*} x+y & =\sum_{k\in\left\{ 1,2,\cdots,n\right\} }x_{\mu_{k}}+\sum_{k\in\left\{ 1,2,\cdots,m\right\} }y_{\nu_{k}} \end{align*} となり、$x+y$は$n+m$個の有限個の和で表すことができるので、$x+y\in\sum_{\lambda\in\Lambda}W_{\lambda}$となる。
これは任意の$x,y\in\sum_{\lambda\in\Lambda}W_{\lambda}$で成り立っているので、和について閉じている。

スカラー倍

任意に$x\in\sum_{\lambda\in\Lambda}W_{\lambda}$と任意の$\alpha\in K$をとる。
このとき、ある自然数$n\in\mathbb{N}$とある$\left(\mu_{k}\right)_{k\in\left\{ 1,2,\cdots,n\right\} }\subseteq\Lambda$とある$\left(x_{\mu_{k}}\right)_{k\in\left\{ 1,2,\cdots,n\right\} }\in\prod_{k\in\left\{ 1,2,\cdots,n\right\} }W_{\mu_{k}}$が存在し、$x=\sum_{k\in\left\{ 1,2,\cdots,n\right\} }x_{\mu_{k}}$と表すことができる。
このとき、
\begin{align*} \alpha x & =\alpha\sum_{k\in\left\{ 1,2,\cdots,n\right\} }x_{\mu_{k}}\\ & =\sum_{k\in\left\{ 1,2,\cdots,n\right\} }\alpha x_{\mu_{k}} \end{align*} となり、$W_{\mu_{k}}$はベクトル空間なので、$x_{\mu_{k}}\in W_{\mu_{k}}$ならば$\alpha x_{\mu_{k}}\in W_{\mu_{k}}$となり、$\alpha x$は$n$個の有限個の和で表すことができる。
これは任意の$x\in\sum_{\lambda\in\Lambda}W_{\lambda}$と任意の$\alpha\in K$で成り立っているので、スカラー倍について閉じている。

-

これらより、$\sum_{\lambda\in\Lambda}W_{\lambda}$は零元・和・スカラー倍を満たしているので$\sum_{\lambda\in\Lambda}W_{\lambda}$は$V$の部分空間となる。

(2)

零元

$V$はベクトル空間なので、零元$0_{V}\in V$が存在する。
このとき、任意の$\lambda\in\Lambda$について、$W_{\lambda}$は$V$の部分空間なので$0_{V}\in W_{\lambda}$である。
これより、$0_{V}\in\bigcap_{\lambda\in\Lambda}W_{\lambda}$となる。

和

任意に$x,y\in\bigcap_{\lambda\in\Lambda}W_{\lambda}$をとる。
このとき、任意の$\lambda\in\Lambda$について、$x,y\in W_{\lambda}$となり、$W_{\lambda}$は部分空間より和で閉じているので、$x+y\in W_{\lambda}$となる。
これは任意の$\lambda\in\Lambda$で成り立っているので、$x+y\in\bigcap_{\lambda\in\Lambda}W_{\lambda}$となる。
これは任意の$x,y\in\bigcap_{\lambda\in\Lambda}W_{\lambda}$で成り立っているので、和について閉じている。

スカラー倍

任意に$x\in\bigcap_{\lambda\in\Lambda}W_{\lambda}$と任意の$\alpha\in K$をとる。
このとき、任意の$\lambda\in\Lambda$について、$x\in W_{\lambda}$となり、$W_{\lambda}$は部分空間よりスカラー倍で閉じているので、$\alpha x\in W_{\lambda}$となる。
これは任意の$\lambda\in\Lambda$で成り立っているので、$\alpha x\in\bigcap_{\lambda\in\Lambda}W_{\lambda}$となる。
これは任意の$x\in\bigcap_{\lambda\in\Lambda}W_{\lambda}$と任意の$\alpha\in K$で成り立っているので、スカラー倍について閉じている。

-

これらより、$\bigcap_{\lambda\in\Lambda}W_{\lambda}$は零元・和・スカラー倍を満たしているので$\bigcap_{\lambda\in\Lambda}W_{\lambda}$は$V$の部分空間となる。

(3)

$\forall j,c_{j}=0$とすれば、$\boldsymbol{0}\in W$となる。
和については$\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\in W$とすれば、$\boldsymbol{x}=\sum_{j=1}^{a}c_{j}s_{j},\boldsymbol{y}=\sum_{j=a+1}^{b}c_{j}s_{j}$と表されるので$\boldsymbol{x}+\boldsymbol{y}=\sum_{j=1}^{a}c_{j}s_{j}+\sum_{j=a+1}^{b}c_{j}s_{j}=\sum_{j=1}^{b}c_{j}s_{j}\in W$となり和について閉じている。
スカラー倍については$c\in K$として、$\boldsymbol{x}\in W$とすれば、$\boldsymbol{x}=\sum_{j=1}^{k}c_{j}s_{j}$と表されるので、$c\boldsymbol{x}=c\sum_{j=1}^{k}c_{j}s_{j}=\sum_{j=1}^{k}cc_{j}s_{j}\in W$となり、スカラー倍について閉じている。
これらより、$W$は部分空間となる。

(4)

$\boldsymbol{0}\in W_{1}$なので$\boldsymbol{0}=f\left(\boldsymbol{0}\right)\in f\left(W_{1}\right)$となるので零元を要素に含む。
和については、$f\left(\boldsymbol{x}_{1}\right),f\left(\boldsymbol{x}_{2}\right)\in f\left(W_{1}\right)$とすると、$\boldsymbol{x}_{1},\boldsymbol{x}_{2}\in W_{1}$より、$\boldsymbol{x}_{1}+\boldsymbol{x}_{2}\in W_{1}$なので$f\left(\boldsymbol{x}_{1}\right)+f\left(\boldsymbol{x}_{2}\right)=f\left(\boldsymbol{x}_{1}+\boldsymbol{x}_{2}\right)\in f\left(W_{1}\right)$となり和について閉じている。
スカラー倍については$c\in K,f\left(\boldsymbol{x}\right)\in f\left(W_{1}\right)$とすると、$cf\left(\boldsymbol{x}\right)=f\left(c\boldsymbol{x}\right)\in f\left(W_{1}\right)$となるのでスカラー倍について閉じている。
これらより、$f\left(W_{1}\right)$は$V_{2}$の部分空間となる。

(5)

$\boldsymbol{0}\in W_{2}$なので$f\left(\boldsymbol{0}\right)=\boldsymbol{0}\in W_{2}$となるので$\boldsymbol{0}\in f^{\bullet}\left(W_{2}\right)$となり零元を要素に含む。
和については、$\boldsymbol{x}_{1},\boldsymbol{x}_{2}\in f^{\bullet}\left(W_{2}\right)$とすると、$f\left(\boldsymbol{x}_{1}\right),f\left(\boldsymbol{x}_{2}\right)\in W_{2}$より、$f\left(\boldsymbol{x}_{1}+\boldsymbol{x}_{2}\right)=f\left(\boldsymbol{x}_{1}\right)+f\left(\boldsymbol{x}_{2}\right)\in W_{2}$なので$\boldsymbol{x}_{1}+\boldsymbol{x}_{2}\in f^{\bullet}\left(W_{2}\right)$となり和について閉じている。
スカラー倍については$c\in K,\boldsymbol{x}\in f^{\bullet}\left(W_{2}\right)$とすると、$f\left(\boldsymbol{x}\right)\in W_{2}$より、$f\left(c\boldsymbol{x}\right)=cf\left(\boldsymbol{x}\right)\in W_{2}$なので$c\boldsymbol{x}\in f^{\bullet}\left(W_{2}\right)$となりスカラー倍について閉じている。
これらより、$f^{\bullet}\left(W_{2}\right)$は$V_{1}$の部分空間となる。

(6)

$\Rightarrow$

$W_{1}\cup W_{2}$が$V$の部分空間かつ$W_{1}\nsubseteq W_{2}$かつ$W_{2}\nsubseteq W_{1}$であると仮定する。
このとき、$W_{1}\nsubseteq W_{2}$より、ある$\boldsymbol{x}_{1}\in V$が存在し、$\boldsymbol{x}_{1}\in W_{1}\land\boldsymbol{x}_{1}\notin W_{2}$となる。
また、$W_{2}\nsubseteq W_{1}$より、ある$\boldsymbol{x}_{2}\in V$が存在し、$\boldsymbol{x}_{2}\in W_{2}\land\boldsymbol{x}_{2}\notin W_{1}$となる。
このとき、$W_{1}\cup W_{2}$は$V$の部分空間であり、$\boldsymbol{x}_{1},\boldsymbol{x}_{2}\in W_{1}\cup W_{2}$であるので、$\boldsymbol{x}_{1}+\boldsymbol{x}_{2}\in W_{1}\cup W_{2}$となるので、$\boldsymbol{x}_{1}+\boldsymbol{x}_{2}\in W_{1}$または$\boldsymbol{x}_{1}+\boldsymbol{x}_{2}\in W_{2}$となる。
ここで、$\boldsymbol{x}_{1}+\boldsymbol{x}_{2}\in W_{1}$が成り立っているとすると、$\boldsymbol{x}_{1},\boldsymbol{x}_{1}+\boldsymbol{x}_{2}\in W_{1}$なので$\boldsymbol{x}_{2}=\left(\boldsymbol{x}_{2}+\boldsymbol{x}_{1}\right)-\boldsymbol{x}_{1}\in W_{1}$となり$\boldsymbol{x}_{2}\notin W_{1}$なので矛盾。
同様に$\boldsymbol{x}_{1}+\boldsymbol{x}_{2}\in W_{2}$が成り立っているとしても矛盾となる。
これより、$\boldsymbol{x}_{1}+\boldsymbol{x}_{2}\in W_{1}$が成り立っていても$\boldsymbol{x}_{1}+\boldsymbol{x}_{2}\in W_{2}$が成り立っていても矛盾となる。
従って、背理法より、$W_{1}\cup W_{2}$が$V$の部分空間ならば$W_{1}\subseteq W_{2}$または$W_{2}\subseteq W_{1}$となる。
故に$\Rightarrow$が成り立つ。

$\Leftarrow$

$W_{1}\subseteq W_{2}$が成り立っているときは、条件より$W_{2}$は$V$の部分空間なので$W_{1}\cup W_{2}=W_{2}$は$V$の部分空間となる。
同様に$W_{2}\subseteq W_{1}$が成り立っているときは、条件より$W_{1}$は$V$の部分空間なので$W_{1}\cup W_{2}=W_{1}$は$V$の部分空間となる。
従って、$W_{1}\subseteq W_{2}$または$W_{2}\subseteq W_{1}$であるならば、$W_{1}\cup W_{2}$が$V$の部分空間である。
故に$\Leftarrow$が成り立つ。

$\Leftrightarrow$

これらより$\Rightarrow$と$\Leftarrow$が成り立つので$\Leftrightarrow$が成り立つ。

ページ情報

タイトル	和空間・積集合・部分集合から生成・像・逆像と部分空間
URL	https://www.nomuramath.com/ep0l7ak8/
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生成される部分空間

\[ W=\left\langle \boldsymbol{x}_{1},\boldsymbol{x}_{2},\cdots,\boldsymbol{x}_{n}\right\rangle _{K} \]

1次従属・1次独立の基本性質

ベクトル$\boldsymbol{a}_{1},\boldsymbol{a}_{2},\cdots,\boldsymbol{a}_{m}$が1次従属であれば$\boldsymbol{a}_{1},\boldsymbol{a}_{2},\cdots,\boldsymbol{a}_{m+1}$も1次従属である。

1次関係と1次独立と1次従属の定義

\[ \sum_{k=1}^{n}c_{k}\boldsymbol{x}_{k}=\boldsymbol{0}\Rightarrow c_{1}=c_{2}=\cdots=c_{n}=0 \]

部分ベクトル空間(線形部分空間)の定義と性質

\[ \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\in W\rightarrow\boldsymbol{x}+\boldsymbol{y}\in W \]