(1)

実数\(\mathbb{R}\)上のベクトル空間\(\mathbb{R}^{2}\)があるとき、\(W=\left\{ \left(x,y\right)\in\mathbb{R}^{2};x+2y=0\right\} \)は部分空間になる。
何故なら原点は\(\left(0,0\right)\in W\)である。
和については、\(\left(x_{1},y_{1}\right),\left(x_{2},y_{2}\right)\in W\)のとき、\(\left(x_{1},y_{1}\right)+\left(x_{2},y_{2}\right)=\left(x_{1}+x_{2},y_{1}+y_{2}\right)\)は\(\left(x_{1}+x_{2}\right)+2\left(y_{1}+y_{2}\right)=x_{1}+2y_{1}+x_{2}+2y_{2}=0+0=0\)となるので、\(\left(x_{1}+x_{2},y_{1}+y_{2}\right)\in W\)となる。
スカラー倍については、\(\left(x,y\right)\in W,c\in\mathbb{R}\)とすると、\(c\left(x,y\right)=\left(cx,cy\right)\)は\(cx+2cy=c\left(x+2y\right)=c\cdot0=0\)となるので、\(c\left(x,y\right)\in W\)となる。
これより、\(W\)は\(\mathbb{R}^{2}\)の部分空間になる。

(2)

実数\(\mathbb{R}\)上のベクトル空間\(\mathbb{R}^{2}\)があるとき、\(W=\left\{ \left(x,y\right)\in\mathbb{R}^{2};x+2y=1\right\} \)は部分空間にならない。
何故なら原点は\(\left(0,0\right)\notin W\)であり、また\(\left(1,0\right)\)は\(W\)の要素であるが、スカラー倍は\(2\left(1,0\right)=\left(2,0\right)\notin W\)となる。
従って\(W\)は\(\mathbb{R}^{2}\)の部分空間ではない。

(3)

実数\(\mathbb{R}\)上のベクトル空間\(\mathbb{R}^{2}\)があるとき、\(W=\left\{ \left(x,y\right)\in\mathbb{R}^{2};xy=0\right\} \)は部分空間にならない。
何故なら\(\left(1,0\right)\in W,\left(0,1\right)\in W\)であるが、和は\(\left(1,0\right)+\left(0,1\right)=\left(1,1\right)\notin W\)である。
従って\(W\)は\(\mathbb{R}^{2}\)の部分空間ではない。