(1)

条件より\(W\)はベクトル空間\(V\)の部分空間であるので、和とスカラー倍で閉じている。
次にベクトル空間であるための条件を満たしていることを示す。
\(x,y,z\in W;a,b\in K\)とする。

加法の結合律

\(V\)で\(x+\left(y+z\right)=\left(x+y\right)+z\)が成り立つので\(W\)でも成り立つ。

加法の可換律

\(V\)で\(x+y=y+z\)が成り立つので\(W\)でも成り立つ。

加法単位元

部分空間の定義より\(0_{W}\in W\)であるので\(x+0_{W}=x\)となり、加法単位元\(0_{W}\)が存在する。

加法逆元

体\(K\)は乗法単位元\(1\)を元にもち、乗法単位元\(1\)の加法逆元\(-1\)を元にもつので\(-1\in K\)となる。
これより、\(-x=-1\cdot x\in W\)であるので、\(x-x=0_{W}\)となり、\(x\)の加法逆元\(-x\)が存在する。

スカラー分配律

\(V\)で\(a\left(x+y\right)=ax+ay\)が成り立つので\(W\)でも成り立つ。

ベクトル分配律

\(V\)で\(\left(a+b\right)x=ax+bx\)が成り立つので\(W\)でも成り立つ。

スカラーとベクトルの結合律

\(V\)で\(\left(ab\right)x=a\left(bx\right)\)が成り立つので\(W\)でも成り立つ。

スカラー単位元

\(V\)で\(1x=x\)が成り立つので\(W\)でも成り立つ。

-

これらより、\(W\)は\(V\)と同じ和とスカラー倍を使うと和とスカラー倍で閉じていてベクトル空間であるための条件を満たしているのでベクトル空間となる。
従って題意は成り立つ。

(2)

任意の\(\boldsymbol{v}\in W\)について、\(\boldsymbol{v}=\boldsymbol{v}+\boldsymbol{0}_{V}\in W+\left\{ \boldsymbol{0_{V}}\right\} \subseteq W+W\)となるので、\(W\subseteq W+W\)となる。
また、任意の\(\boldsymbol{v}_{1}+\boldsymbol{v}_{2}\in W+W\)について、\(\boldsymbol{v}_{1},\boldsymbol{v}_{2}\in W\)であり\(W\)は和で閉じているので\(\boldsymbol{v}_{1}+\boldsymbol{v}_{2}\in W\)となるので、\(W+W\subseteq W\)となる。
これらより、\(W\subseteq W+W\)かつ\(W+W\subseteq W\)となるので、\(W=W+W\)となる。
従って題意は成り立つ。

(3)

任意の\(\boldsymbol{v}\in W\)について、\(\alpha\in K\setminus\left\{ 0_{V}\right\} \)より、\(\frac{1}{\alpha}\in K\setminus\left\{ 0_{V}\right\} \)であるので、\(W\)はスカラー倍で閉じているので\(\frac{1}{\alpha}\boldsymbol{v}\in W\)となり、\(\boldsymbol{v}=\alpha\cdot\frac{1}{\alpha}\boldsymbol{v}\in\alpha W\)となる。
これより、\(W\subseteq\alpha W\)となる。
また、任意の\(\alpha\boldsymbol{v}\in\alpha W\)について、\(\boldsymbol{v}\in W\)であり\(W\)はスカラー倍で閉じているので\(\alpha\boldsymbol{v}=\alpha\cdot\boldsymbol{v}\in W\)となる。
これより、\(\alpha W\subseteq W\)となる。
これらより、\(W\subseteq\alpha W\)かつ\(\alpha W\subseteq W\)となるので、\(W=\alpha W\)となる。
従って題意は成り立つ。

(4)

\(\alpha\ne0_{K}\)かつ\(\beta\ne0_{K}\)のとき、\(W=W+W=\alpha W+\beta W\)となる。
\(\alpha\ne0_{K}\)かつ\(\beta=0_{K}\)のとき、\(W=\alpha W=\alpha W+0_{K}W=\alpha W+\beta W\)となる。
\(\alpha=0_{K}\)かつ\(\beta\ne0_{K}\)のとき、\(W=\beta W=0_{K}W+\beta W=\alpha W+\beta W\)となる。
従って、\(\left(a,\beta\right)\ne\left(0_{K},0_{K}\right)\)のとき、\(W=\alpha W+\beta W\)が成り立つ。
故に題意は成り立つ。