ブロック対角行列の固有多項式と固有値
ブロック対角行列の固有多項式と固有値
ブロック対角行列の固有多項式と固有値について次が成り立つ。
\(k\in\left\{ 1,2,\cdots,r\right\} \)として、正方行列\(A_{k}\)があり\(A_{k}\)の固有多項式を\(p_{A_{k}}\left(\lambda\right)\)とすると、ブロック対角行列\(A=\diag\left(A_{1},A_{2},\cdots,A_{r}\right)\)の固有多項式\(p_{A}\left(\lambda\right)\)は、
\[ p_{A}\left(\lambda\right)=\prod_{k\in\left\{ 1,2,\cdots,r\right\} }p_{A_{k}}\left(\lambda\right) \] となり、固有値はブロック行列\(A_{1},A_{2},\cdots,A_{r}\)の固有値になる。
ブロック対角行列の固有多項式と固有値について次が成り立つ。
\(k\in\left\{ 1,2,\cdots,r\right\} \)として、正方行列\(A_{k}\)があり\(A_{k}\)の固有多項式を\(p_{A_{k}}\left(\lambda\right)\)とすると、ブロック対角行列\(A=\diag\left(A_{1},A_{2},\cdots,A_{r}\right)\)の固有多項式\(p_{A}\left(\lambda\right)\)は、
\[ p_{A}\left(\lambda\right)=\prod_{k\in\left\{ 1,2,\cdots,r\right\} }p_{A_{k}}\left(\lambda\right) \] となり、固有値はブロック行列\(A_{1},A_{2},\cdots,A_{r}\)の固有値になる。
行列
\[ \left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & -1\\ 0 & 2 & 4 \end{array}\right) \] の固有値を求める。
ブロック行列にすると
\[ \left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & -1\\ 0 & 2 & 4 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c|cc} 1 & 0 & 0\\ \hline 0 & 1 & -1\\ 0 & 2 & 4 \end{array}\right) \] となり、固有多項式\(p_{A}\left(\lambda\right)\)は
\begin{align*} p_{A}\left(\lambda\right) & =\det\left(\lambda I-\left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & -1\\ 0 & 2 & 4 \end{array}\right)\right)\\ & =\det\left(\lambda I-\left(\begin{array}{c|cc} 1 & 0 & 0\\ \hline 0 & 1 & -1\\ 0 & 2 & 4 \end{array}\right)\right)\\ & =\det\left(\lambda I-\left(1\right)\right)\det\left(\lambda I-\left(\begin{array}{cc} 1 & -1\\ 2 & 4 \end{array}\right)\right)\\ & =\det\left(\lambda-1\right)\det\left(\begin{array}{cc} \lambda-1 & -1\\ 2 & \lambda-4 \end{array}\right)\\ & =\left(\lambda-1\right)\left(\lambda^{2}-5\lambda+6\right)\\ & =\left(\lambda-1\right)\left(\lambda-2\right)\left(\lambda-3\right) \end{align*} となるので、固有値\(\lambda\)は\(p_{A}\left(\lambda\right)=0\)より、\(\lambda=1,2,3\)となる。
\[ \left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & -1\\ 0 & 2 & 4 \end{array}\right) \] の固有値を求める。
ブロック行列にすると
\[ \left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & -1\\ 0 & 2 & 4 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c|cc} 1 & 0 & 0\\ \hline 0 & 1 & -1\\ 0 & 2 & 4 \end{array}\right) \] となり、固有多項式\(p_{A}\left(\lambda\right)\)は
\begin{align*} p_{A}\left(\lambda\right) & =\det\left(\lambda I-\left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & -1\\ 0 & 2 & 4 \end{array}\right)\right)\\ & =\det\left(\lambda I-\left(\begin{array}{c|cc} 1 & 0 & 0\\ \hline 0 & 1 & -1\\ 0 & 2 & 4 \end{array}\right)\right)\\ & =\det\left(\lambda I-\left(1\right)\right)\det\left(\lambda I-\left(\begin{array}{cc} 1 & -1\\ 2 & 4 \end{array}\right)\right)\\ & =\det\left(\lambda-1\right)\det\left(\begin{array}{cc} \lambda-1 & -1\\ 2 & \lambda-4 \end{array}\right)\\ & =\left(\lambda-1\right)\left(\lambda^{2}-5\lambda+6\right)\\ & =\left(\lambda-1\right)\left(\lambda-2\right)\left(\lambda-3\right) \end{align*} となるので、固有値\(\lambda\)は\(p_{A}\left(\lambda\right)=0\)より、\(\lambda=1,2,3\)となる。
\(A_{k}\)の固有多項式\(p_{A_{k}}\left(\lambda\right)\)は
\[ p_{A_{k}}\left(\lambda\right)=\det\left(\lambda I-A_{k}\right) \] であるので、\(A\)の固有多項式は
\begin{align*} p_{A}\left(\lambda\right) & =\det\left(\lambda I-A\right)\\ & =\det\left(\lambda I-\diag\left(A_{1},A_{2},\cdots,A_{r}\right)\right)\\ & =\det\diag\left(I-A_{1},I-A_{2},\cdots,I-A_{r}\right)\\ & =\prod_{k\in\left\{ 1,2,\cdots,r\right\} }\det\left(\lambda I-A_{k}\right)\\ & =\prod_{k\in\left\{ 1,2,\cdots,r\right\} }p_{A_{k}}\left(\lambda\right) \end{align*} となり、固有値は
\begin{align*} 0 & =p_{A}\left(\lambda\right)\\ & =\prod_{k\in\left\{ 1,2,\cdots,r\right\} }p_{A_{k}}\left(\lambda\right) \end{align*} を満たす\(\lambda\)なので、ある\(k\in\left\{ 1,2,\cdots,r\right\} \)が存在し、\(p_{A_{k}}\left(\lambda\right)=0\)を満たす\(\lambda\)となる。
従って、固有値はブロック行列\(A_{1},A_{2},\cdots,A_{r}\)の固有値になる。
故に題意は成り立つ。
\[ p_{A_{k}}\left(\lambda\right)=\det\left(\lambda I-A_{k}\right) \] であるので、\(A\)の固有多項式は
\begin{align*} p_{A}\left(\lambda\right) & =\det\left(\lambda I-A\right)\\ & =\det\left(\lambda I-\diag\left(A_{1},A_{2},\cdots,A_{r}\right)\right)\\ & =\det\diag\left(I-A_{1},I-A_{2},\cdots,I-A_{r}\right)\\ & =\prod_{k\in\left\{ 1,2,\cdots,r\right\} }\det\left(\lambda I-A_{k}\right)\\ & =\prod_{k\in\left\{ 1,2,\cdots,r\right\} }p_{A_{k}}\left(\lambda\right) \end{align*} となり、固有値は
\begin{align*} 0 & =p_{A}\left(\lambda\right)\\ & =\prod_{k\in\left\{ 1,2,\cdots,r\right\} }p_{A_{k}}\left(\lambda\right) \end{align*} を満たす\(\lambda\)なので、ある\(k\in\left\{ 1,2,\cdots,r\right\} \)が存在し、\(p_{A_{k}}\left(\lambda\right)=0\)を満たす\(\lambda\)となる。
従って、固有値はブロック行列\(A_{1},A_{2},\cdots,A_{r}\)の固有値になる。
故に題意は成り立つ。
ページ情報
| タイトル | ブロック対角行列の固有多項式と固有値 |
| URL | https://www.nomuramath.com/iv5xnxvh/ |
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ブロック対角行列の逆行列
\[
\left(\begin{array}{cccc}
A_{1,1} & O & \cdots & O\\
O & A_{2,2} & \ddots & O\\
\vdots & \ddots & \ddots & \vdots\\
O & O & \cdots & A_{p,p}
\end{array}\right)^{-1}=\left(\begin{array}{cccc}
A_{1,1}^{-1} & O & \cdots & O\\
O & A_{2,2}^{-1} & \ddots & O\\
\vdots & \ddots & \ddots & \vdots\\
O & O & \cdots & A_{p,p}^{-1}
\end{array}\right)
\]
対称ブロック分けのトーレス
\[
\tr\left(\begin{array}{cccc}
A_{1,1} & A_{1,2} & \cdots & A_{1,p}\\
A_{2,1} & A_{2,2} & \ddots & A_{2,p}\\
\vdots & \ddots & \ddots & \vdots\\
A_{p,1} & A_{p,2} & \cdots & A_{p,p}
\end{array}\right)=\sum_{k=1}^{p}\tr\left(A_{k,k}\right)
\]
ブロック対角行列の和・積・べき乗
\[
\left(\begin{array}{cccc}
A_{11} & O & \cdots & O\\
O & A_{22} & \ddots & O\\
\vdots & \ddots & \ddots & \vdots\\
O & O & \cdots & A_{pp}
\end{array}\right)^{k}=\left(\begin{array}{cccc}
A_{11}^{k} & O & \cdots & O\\
O & A_{22}^{k} & \ddots & O\\
\vdots & \ddots & \ddots & \vdots\\
O & O & \cdots & A_{pp}^{k}
\end{array}\right)
\]
ブロック3角行列の行列式
\[
\det\left(\begin{array}{cccc}
A_{1,1} & O & \cdots & O\\
A_{1,2} & A_{2,2} & \ddots & O\\
\vdots & \ddots & \ddots & \vdots\\
A_{1,p} & A_{2,p} & \cdots & A_{p,p}
\end{array}\right)=\prod_{k=1}^{p}\det\left(A_{k,k}\right)
\]