ブロック対角行列の逆行列
ブロック対角行列の逆行列
ブロック対角行列の逆行列は
\[ \left(\begin{array}{cccc} A_{1,1} & O & \cdots & O\\ O & A_{2,2} & \ddots & O\\ \vdots & \ddots & \ddots & \vdots\\ O & O & \cdots & A_{p,p} \end{array}\right)^{-1}=\left(\begin{array}{cccc} A_{1,1}^{-1} & O & \cdots & O\\ O & A_{2,2}^{-1} & \ddots & O\\ \vdots & \ddots & \ddots & \vdots\\ O & O & \cdots & A_{p,p}^{-1} \end{array}\right) \] となる。
ブロック対角行列の逆行列は
\[ \left(\begin{array}{cccc} A_{1,1} & O & \cdots & O\\ O & A_{2,2} & \ddots & O\\ \vdots & \ddots & \ddots & \vdots\\ O & O & \cdots & A_{p,p} \end{array}\right)^{-1}=\left(\begin{array}{cccc} A_{1,1}^{-1} & O & \cdots & O\\ O & A_{2,2}^{-1} & \ddots & O\\ \vdots & \ddots & \ddots & \vdots\\ O & O & \cdots & A_{p,p}^{-1} \end{array}\right) \] となる。
\begin{align*}
\left(\begin{array}{ccc}
1 & 0 & 0\\
0 & 3 & 2\\
0 & 4 & 3
\end{array}\right)^{-1} & =\left(\begin{array}{c|cc}
1 & 0 & 0\\
\hline 0 & 3 & 2\\
0 & 4 & 3
\end{array}\right)^{-1}\\
& =\left(\begin{array}{cc}
1^{-1} & O\\
O & \left(\begin{array}{cc}
3 & 2\\
4 & 3
\end{array}\right)^{-1}
\end{array}\right)\\
& =\left(\begin{array}{cc}
1 & O\\
O & \left(\begin{array}{cc}
3 & -2\\
-4 & 3
\end{array}\right)
\end{array}\right)\\
& =\left(\begin{array}{c|cc}
1 & 0 & 0\\
\hline 0 & 3 & -2\\
0 & -4 & 3
\end{array}\right)
\end{align*}
ブロック対角行列同士の積は
\begin{align*} \left(\begin{array}{cccc} A_{1,1} & O & \cdots & O\\ O & A_{2,2} & \ddots & O\\ \vdots & \ddots & \ddots & \vdots\\ O & O & \cdots & A_{p,p} \end{array}\right)\left(\begin{array}{cccc} A_{1,1}^{-1} & O & \cdots & O\\ O & A_{2,2}^{-1} & \ddots & O\\ \vdots & \ddots & \ddots & \vdots\\ O & O & \cdots & A_{p,p}^{-1} \end{array}\right) & =\left(\begin{array}{cccc} A_{1,1}A_{1,1}^{-1} & O & \cdots & O\\ O & A_{2,2}A_{2,2}^{-1} & \ddots & O\\ \vdots & \ddots & \ddots & \vdots\\ O & O & \cdots & A_{p,p}A_{p,p}^{-1} \end{array}\right)\\ & =\left(\begin{array}{cccc} I & O & \cdots & O\\ O & I & \ddots & O\\ \vdots & \ddots & \ddots & \vdots\\ O & O & \cdots & I \end{array}\right)\\ & =I \end{align*} となるので、
\[ \left(\begin{array}{cccc} A_{1,1} & O & \cdots & O\\ O & A_{2,2} & \ddots & O\\ \vdots & \ddots & \ddots & \vdots\\ O & O & \cdots & A_{p,p} \end{array}\right)^{-1}=\left(\begin{array}{cccc} A_{1,1}^{-1} & O & \cdots & O\\ O & A_{2,2}^{-1} & \ddots & O\\ \vdots & \ddots & \ddots & \vdots\\ O & O & \cdots & A_{p,p}^{-1} \end{array}\right) \] となる。
\begin{align*} \left(\begin{array}{cccc} A_{1,1} & O & \cdots & O\\ O & A_{2,2} & \ddots & O\\ \vdots & \ddots & \ddots & \vdots\\ O & O & \cdots & A_{p,p} \end{array}\right)\left(\begin{array}{cccc} A_{1,1}^{-1} & O & \cdots & O\\ O & A_{2,2}^{-1} & \ddots & O\\ \vdots & \ddots & \ddots & \vdots\\ O & O & \cdots & A_{p,p}^{-1} \end{array}\right) & =\left(\begin{array}{cccc} A_{1,1}A_{1,1}^{-1} & O & \cdots & O\\ O & A_{2,2}A_{2,2}^{-1} & \ddots & O\\ \vdots & \ddots & \ddots & \vdots\\ O & O & \cdots & A_{p,p}A_{p,p}^{-1} \end{array}\right)\\ & =\left(\begin{array}{cccc} I & O & \cdots & O\\ O & I & \ddots & O\\ \vdots & \ddots & \ddots & \vdots\\ O & O & \cdots & I \end{array}\right)\\ & =I \end{align*} となるので、
\[ \left(\begin{array}{cccc} A_{1,1} & O & \cdots & O\\ O & A_{2,2} & \ddots & O\\ \vdots & \ddots & \ddots & \vdots\\ O & O & \cdots & A_{p,p} \end{array}\right)^{-1}=\left(\begin{array}{cccc} A_{1,1}^{-1} & O & \cdots & O\\ O & A_{2,2}^{-1} & \ddots & O\\ \vdots & \ddots & \ddots & \vdots\\ O & O & \cdots & A_{p,p}^{-1} \end{array}\right) \] となる。
ページ情報
| タイトル | ブロック対角行列の逆行列 |
| URL | https://www.nomuramath.com/u6ft1dv1/ |
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ブロック対角行列の最小多項式
\[
m\left(x\right)=\lcm\left(m_{1}\left(x\right),m_{2}\left(x\right),\cdots,m_{r}\left(x\right)\right)
\]
ブロック対角行列の固有空間と広義固有空間
\[
W\left(\lambda\right)=\prod_{k\in\left\{ 1,2,\cdots,r\right\} }W_{k}\left(\lambda\right)
\]
ブロック対角行列の固有多項式と固有値
\[
p_{A}\left(\lambda\right)=\prod_{k\in\left\{ 1,2,\cdots,r\right\} }p_{A_{k}}\left(\lambda\right)
\]
対称ブロック分けのトーレス
\[
\tr\left(\begin{array}{cccc}
A_{1,1} & A_{1,2} & \cdots & A_{1,p}\\
A_{2,1} & A_{2,2} & \ddots & A_{2,p}\\
\vdots & \ddots & \ddots & \vdots\\
A_{p,1} & A_{p,2} & \cdots & A_{p,p}
\end{array}\right)=\sum_{k=1}^{p}\tr\left(A_{k,k}\right)
\]