対称ブロック分けのトーレス

\[ A=\left(\begin{array}{cccc} A_{1,1} & A_{1,2} & \cdots & A_{1,p}\\ A_{2,1} & A_{2,2} & \ddots & A_{2,p}\\ \vdots & \ddots & \ddots & \vdots\\ A_{p,1} & A_{p,2} & \cdots & A_{p,p} \end{array}\right) \] として対称ブロック分け\(A\)の型を\(\left(n_{1},n_{2},\cdots,n_{p};n_{1},n_{2},\cdots,n_{p}\right)\)とする。
\begin{align*} \tr\left(\begin{array}{cccc} A_{1,1} & A_{1,2} & \cdots & A_{1,p}\\ A_{2,1} & A_{2,2} & \ddots & A_{2,p}\\ \vdots & \ddots & \ddots & \vdots\\ A_{p,1} & A_{p,2} & \cdots & A_{p,p} \end{array}\right) & =\sum_{k=1}^{n_{1}+n_{2}+\cdots+n_{p}}\left(A\right)_{k,k}\\ & =\sum_{k=1}^{n_{1}}\left(A\right)_{k,k}+\sum_{k=n_{1}+1}^{n_{1}+n_{2}}\left(A\right)_{k,k}+\cdots+\sum_{k=n_{p-1}+1}^{n_{1}+n_{2}+\cdots+n_{p}}\left(A\right)_{k,k}\\ & =\tr\left(A_{1,1}\right)+\tr\left(A_{2,2}\right)+\cdots+\tr\left(A_{p,p}\right)\\ & =\sum_{k=1}^{p}\tr\left(A_{k,k}\right) \end{align*} となるので与式は成り立つ。