ブロック行列と色々なブロック行列の定義
ブロック行列と色々なブロック行列の定義
\begin{align*} A & =\left(a_{i,j}\right)_{m\times n}\\ & =\left(A_{i,j}\right)_{p\times q} \end{align*} と表した行列をブロック行列や区分行列といい、行列をブロックに分けることをブロック分けや区分けという。
各\(A_{i,j}\)をブロックといい、\(A_{i,j}\)が\(m_{i}\times n_{j}\)行列のとき、このブロック行列\(\left(A_{i,j}\right)_{p\times q}\)を\(\left(m_{1},m_{2},\cdots,m_{p};n_{1},n_{2},\cdots,n_{q}\right)\)型という。
このとき、\(\sum_{k=1}^{p}m_{k}=m,\sum_{k=1}^{q}n_{k}=n\)である。
対称ブロック分けでは\(A_{i,j}\)のサイズが\(a\times b\)ならば\(A_{j,i}\)のサイズは\(b\times a\)となり対称となります。
またブロック行列の型は\(\left(n_{1},n_{2},\cdots,n_{p};n_{1},n_{2},\cdots,n_{q}\right)\)となります。
ブロック上3角行列とブロック下3角行列を合わせてブロック3角行列という。
(1)ブロック行列
\(m\times n\)行列\(A\)をいくつかのブロックに分け、\begin{align*} A & =\left(a_{i,j}\right)_{m\times n}\\ & =\left(A_{i,j}\right)_{p\times q} \end{align*} と表した行列をブロック行列や区分行列といい、行列をブロックに分けることをブロック分けや区分けという。
各\(A_{i,j}\)をブロックといい、\(A_{i,j}\)が\(m_{i}\times n_{j}\)行列のとき、このブロック行列\(\left(A_{i,j}\right)_{p\times q}\)を\(\left(m_{1},m_{2},\cdots,m_{p};n_{1},n_{2},\cdots,n_{q}\right)\)型という。
このとき、\(\sum_{k=1}^{p}m_{k}=m,\sum_{k=1}^{q}n_{k}=n\)である。
(2)対称ブロック分け
正方行列\(A\)をブロック行列\(A=\left(A_{i,j}\right)_{p\times p}\)で表したとき、対角線上の行列\(A_{11},A_{22},\cdots,A_{pp}\)が全て正方行列のとき、対称ブロック分けや対称区分けという。対称ブロック分けでは\(A_{i,j}\)のサイズが\(a\times b\)ならば\(A_{j,i}\)のサイズは\(b\times a\)となり対称となります。
またブロック行列の型は\(\left(n_{1},n_{2},\cdots,n_{p};n_{1},n_{2},\cdots,n_{q}\right)\)となります。
(3)ブロック3角行列
対称ブロック分けで対角線より上または下が零行列のブロック行列をブロック上3角行列またはブロック下3角行列という。ブロック上3角行列とブロック下3角行列を合わせてブロック3角行列という。
(4)ブロック対角行列
対称ブロック分けで対角ブロック以外が全て\(O\)のブロック行列をブロック対角行列という。(1)
\[ A=\left(\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3\\ 4 & 5 & 6\\ 7 & 8 & 9 \end{array}\right) \] があるとき、\[ A_{1,1}=\left(1\right) \] \[ A_{1,2}=\left(\begin{array}{cc} 2 & 3\end{array}\right) \] \[ A_{2,1}=\left(\begin{array}{c} 4\\ 7 \end{array}\right) \] \[ A_{2,2}=\left(\begin{array}{cc} 5 & 6\\ 7 & 8 \end{array}\right) \] とすると、
\begin{align*} A & =\left(\begin{array}{c|cc} 1 & 2 & 3\\ \hline 4 & 5 & 6\\ 7 & 8 & 9 \end{array}\right)\\ & =\left(\begin{array}{cc} A_{1,1} & A_{1,2}\\ A_{2,1} & A_{2,2} \end{array}\right) \end{align*} となりブロック行列になる。
このブロック行列は対称ブロック分けになる。
(2)
\[ A=\left(\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3\\ 0 & 5 & 6\\ 0 & 8 & 9 \end{array}\right) \] があるとき、\[ A_{1,1}=\left(1\right) \] \[ A_{1,2}=\left(\begin{array}{cc} 2 & 3\end{array}\right) \] \[ A_{2,1}=\left(\begin{array}{c} 0\\ 0 \end{array}\right) \] \[ A_{2,2}=\left(\begin{array}{cc} 5 & 6\\ 7 & 8 \end{array}\right) \] とすると、
\begin{align*} A & =\left(\begin{array}{c|cc} 1 & 2 & 3\\ \hline 0 & 5 & 6\\ 0 & 8 & 9 \end{array}\right)\\ & =\left(\begin{array}{cc} A_{1,1} & A_{1,2}\\ A_{2,1} & A_{2,2} \end{array}\right) \end{align*} となりブロック上3角行列になる。
(3)
\[ A=\left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0\\ 0 & 5 & 6\\ 0 & 8 & 9 \end{array}\right) \] があるとき、\[ A_{1,1}=\left(1\right) \] \[ A_{1,2}=\left(\begin{array}{cc} 0 & 0\end{array}\right) \] \[ A_{2,1}=\left(\begin{array}{c} 0\\ 0 \end{array}\right) \] \[ A_{2,2}=\left(\begin{array}{cc} 5 & 6\\ 7 & 8 \end{array}\right) \] とすると、
\begin{align*} A & =\left(\begin{array}{c|cc} 1 & 0 & 0\\ \hline 0 & 5 & 6\\ 0 & 8 & 9 \end{array}\right)\\ & =\left(\begin{array}{cc} A_{1,1} & A_{1,2}\\ A_{2,1} & A_{2,2} \end{array}\right) \end{align*} となりブロック対角行列になる。
ページ情報
| タイトル | ブロック行列と色々なブロック行列の定義 |
| URL | https://www.nomuramath.com/r5vi013m/ |
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