2の34乗と5の14乗の大小関係

by nomura · 2025年5月2日

2の34乗と5の14乗の大小関係
2の34乗と5の14乗の大小関係を求めよ。
\[ 2^{34}\lesseqgtr5^{14} \]

$2^{72}$と$5^{31}$の大小関係などは近すぎてこの方法ではわかりません。

(0)

\begin{align*} 2^{34} & =\left(2^{7}\right)^{\frac{34}{7}}\\ & >\left(5^{3}\right)^{\frac{34}{7}}\\ & =5^{14+\frac{4}{7}}\\ & >5^{14} \end{align*} これより、
\[ 5^{14}<2^{34} \]

(0)-2

\begin{align*} 5^{14} & =\frac{10^{14}}{2^{14}}\\ & =\frac{\left(10^{3}\right)^{\frac{14}{3}}}{2^{14}}\\ & <\frac{\left(2^{10}\right)^{\frac{14}{3}}}{2^{14}}\\ & =\left(2^{\frac{7}{3}}\right)^{14}\\ & =2^{32+\frac{2}{3}}\\ & <2^{34} \end{align*} これより、
\[ 5^{14}<2^{34} \]