超幾何関数のオイラー積分表示と超幾何定理とヴァンデルモンドの恒等式
超幾何関数のオイラー積分表示と超幾何定理とヴァンデルモンドの恒等式
超幾何関数\(F\left(a,b;c;x\right)\)は次を満たす。
\[ F\left(a,b;c;x\right)=\frac{\Gamma\left(c\right)}{\Gamma\left(a\right)\Gamma\left(c-a\right)}\int_{0}^{1}t^{a-1}\left(1-t\right)^{c-a-1}\left(1-tx\right)^{-b}dt \]
\[ F\left(a,b;c;1\right)=\frac{\Gamma\left(c\right)\Gamma\left(c-a-b\right)}{\Gamma\left(c-a\right)\Gamma\left(c-b\right)} \]
超幾何関数\(F\left(a,b;c;x\right)\)は次を満たす。
(1)超幾何関数のオイラー積分表示
\(\Re\left(a\right),\Re\left(c-a\right)>0\)とする。\[ F\left(a,b;c;x\right)=\frac{\Gamma\left(c\right)}{\Gamma\left(a\right)\Gamma\left(c-a\right)}\int_{0}^{1}t^{a-1}\left(1-t\right)^{c-a-1}\left(1-tx\right)^{-b}dt \]
(2)超幾何定理
\(\Re\left(c-a-b\right)>0\land c\notin\mathbb{N}_{0}^{-}\)とする。\[ F\left(a,b;c;1\right)=\frac{\Gamma\left(c\right)\Gamma\left(c-a-b\right)}{\Gamma\left(c-a\right)\Gamma\left(c-b\right)} \]
(3)ヴァンデルモンドの恒等式
\[ F\left(a,b;c;1\right)=\frac{Q\left(c-b,-a\right)}{Q\left(c,-a\right)} \](1)
\begin{align*} F\left(a,b;c;x\right) & =\sum_{k=0}^{\infty}\frac{Q\left(a,k\right)Q\left(b,k\right)}{Q\left(c,k\right)}\frac{x^{k}}{k!}\\ & =\frac{\Gamma\left(c\right)}{\Gamma\left(a\right)}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{\Gamma\left(a+k\right)Q\left(b,k\right)}{\Gamma\left(c+k\right)}\frac{x^{k}}{k!}\\ & =\frac{\Gamma\left(c\right)}{\Gamma\left(a\right)\Gamma\left(c-a\right)}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{\Gamma\left(a+k\right)\Gamma\left(c-a\right)Q\left(b,k\right)}{\Gamma\left(c+k\right)}\frac{x^{k}}{k!}\\ & =\frac{\Gamma\left(c\right)}{\Gamma\left(a\right)\Gamma\left(c-a\right)}\sum_{k=0}^{\infty}B\left(a+k,c-a\right)Q\left(b,k\right)\frac{x^{k}}{k!}\\ & =\frac{\Gamma\left(c\right)}{\Gamma\left(a\right)\Gamma\left(c-a\right)}\sum_{k=0}^{\infty}\int_{0}^{1}t^{a+k-1}\left(1-t\right)^{c-a-1}dtQ\left(b,k\right)\frac{x^{k}}{k!}\\ & =\frac{\Gamma\left(c\right)}{\Gamma\left(a\right)\Gamma\left(c-a\right)}\int_{0}^{1}t^{a-1}\left(1-t\right)^{c-a-1}\sum_{k=0}^{\infty}Q\left(b,k\right)\frac{\left(tx\right)^{k}}{k!}dt\\ & =\frac{\Gamma\left(c\right)}{\Gamma\left(a\right)\Gamma\left(c-a\right)}\int_{0}^{1}t^{a-1}\left(1-t\right)^{c-a-1}\left(1-tx\right)^{-b}dt \end{align*}(2)
\begin{align*} F\left(a,b;c;1\right) & =\left[F\left(a,b;c;x\right)\right]_{x=1}\\ & =\left[\frac{\Gamma\left(c\right)}{\Gamma\left(a\right)\Gamma\left(c-a\right)}\int_{0}^{1}t^{a-1}\left(1-t\right)^{c-a-1}\left(1-tx\right)^{-b}dt\right]_{x=1}\cmt{\text{超幾何関数のオイラー積分表示}}\\ & =\frac{\Gamma\left(c\right)}{\Gamma\left(a\right)\Gamma\left(c-a\right)}\int_{0}^{1}t^{a-1}\left(1-t\right)^{c-a-b-1}dt\\ & =\frac{\Gamma\left(c\right)}{\Gamma\left(a\right)\Gamma\left(c-a\right)}B\left(a,c-a-b\right)\\ & =\frac{\Gamma\left(c\right)\Gamma\left(a\right)\Gamma\left(c-a-b\right)}{\Gamma\left(a\right)\Gamma\left(c-a\right)\Gamma\left(c-b\right)}\\ & =\frac{\Gamma\left(c\right)\Gamma\left(c-a-b\right)}{\Gamma\left(c-a\right)\Gamma\left(c-b\right)} \end{align*}(3)
(2)より、\begin{align*} F\left(a,b;c;1\right) & =\frac{\Gamma\left(c\right)\Gamma\left(c-a-b\right)}{\Gamma\left(c-a\right)\Gamma\left(c-b\right)}\\ & =\frac{Q\left(c-b,-a\right)}{Q\left(c,-a\right)} \end{align*} となるので与式は成り立つ。
ページ情報
| タイトル | 超幾何関数のオイラー積分表示と超幾何定理とヴァンデルモンドの恒等式 |
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基本的な関数の一般化超幾何関数表示
\[
\left(1+x\right)^{a}=F\left(-a;;-x\right)
\]
一般化超幾何関数の微分と積分
\[
\frac{d}{dx}F\left(\boldsymbol{a};\boldsymbol{b};x\right)=\frac{\prod_{i=1}^{\dim\boldsymbol{a}}a_{i}}{\prod_{j=1}^{\dim\boldsymbol{b}}b_{j}}F\left(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{1};\boldsymbol{b}+\boldsymbol{1};x\right)
\]
簡単な関数を上昇階乗とべき乗を使って表す
\[
ak+b=b\frac{Q\left(\frac{b}{a}+1,k\right)}{Q\left(\frac{b}{a},k\right)}
\]
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