冪乗和と第2種スターリング数の関係
冪乗和と第2種スターリング数の関係
冪乗和と第2種スターリング数には次の関係がある。
\(S_{2}\left(n,k\right)\)は第2種スターリング数
冪乗和と第2種スターリング数には次の関係がある。
(1)
\[ \sum_{k=0}^{n}k^{m}x^{k}=\sum_{k=0}^{m}S_{2}\left(m,k\right)x^{k}\frac{d^{k}}{dx^{k}}\left(\frac{1-x^{n+1}}{1-x}\right) \](2)
\[ \sum_{k=0}^{n}k^{m}=\sum_{k=0}^{m}k!S_{2}\left(m,k\right)C\left(n+1,k+1\right) \]-
\(S_{1}\left(n,k\right)\)は第1種スターリング数\(S_{2}\left(n,k\right)\)は第2種スターリング数
\begin{align*}
\sum_{k=0}^{m}k!S_{2}\left(m,k\right)C\left(n+1,k+1\right) & =\sum_{k=0}^{n}k^{m}\\
& =\sum_{k=1}^{n}k^{m}+\delta_{0,m}\\
& =\frac{1}{m+1}\sum_{k=0}^{m}\left(-1\right)^{k}C\left(m+1,k\right)B_{k}n^{m-k+1}+\delta_{0,m}\cmt{\sum_{k=1}^{n}k^{m}=\frac{1}{m+1}\sum_{k=0}^{m}\left(-1\right)^{k}C\left(m+1,k\right)B_{k}n^{m-k+1}}\\
& =\sum_{k=0}^{m}\left\{ \frac{1}{m+1}\left(-1\right)^{k}C\left(m+1,k\right)B_{k}n^{m-k+1}+\delta_{0,m}\delta_{0,k}\right\}
\end{align*}
となるので
\[ \sum_{k=0}^{m}\left\{ k!S_{2}\left(m,k\right)C\left(n+1,k+1\right)-\frac{1}{m+1}\left(-1\right)^{k}C\left(m+1,k\right)B_{k}n^{m-k+1}-\delta_{0,m}\delta_{0,k}\right\} =0 \] となる。
\[ \sum_{k=0}^{m}\left\{ k!S_{2}\left(m,k\right)C\left(n+1,k+1\right)-\frac{1}{m+1}\left(-1\right)^{k}C\left(m+1,k\right)B_{k}n^{m-k+1}-\delta_{0,m}\delta_{0,k}\right\} =0 \] となる。
(1)
\begin{align*} \sum_{k=0}^{n}k^{m}x^{k} & =\sum_{k=0}^{n}\left(x\frac{d}{dx}\right)^{m}x^{k}\\ & =\sum_{k=0}^{n}\sum_{j=0}^{\infty}S_{2}\left(m,j\right)x^{j}\frac{d^{j}}{dx^{j}}x^{k}\\ & =\sum_{j=0}^{\infty}S_{2}\left(m,j\right)x^{j}\frac{d^{j}}{dx^{j}}\sum_{k=0}^{n}x^{k}\\ & =\sum_{j=0}^{\infty}S_{2}\left(m,j\right)x^{j}\frac{d^{j}}{dx^{j}}\frac{1-x^{n+1}}{1-x} \end{align*}(2)
\begin{align*} \sum_{k=0}^{n}k^{m} & =\lim_{x\rightarrow1}\sum_{k=0}^{n}k^{m}x^{k}\\ & =\lim_{x\rightarrow1}\sum_{j=0}^{\infty}S_{2}\left(m,j\right)x^{j}\frac{d^{j}}{dx^{j}}\frac{1-x^{n+1}}{1-x}\\ \\ & =\lim_{x\rightarrow1}\sum_{j=0}^{\infty}S_{2}\left(m,j\right)x^{j}\frac{d^{j}}{dx^{j}}\sum_{i=0}^{n}x^{i}\\ & =\lim_{x\rightarrow1}\sum_{j=0}^{\infty}S_{2}\left(m,j\right)x^{j}\sum_{i=0}^{n}P\left(i,j\right)x^{i-j}\\ & =\sum_{j=0}^{\infty}S_{2}\left(m,j\right)\sum_{i=0}^{n}P\left(i,j\right)\\ & =\sum_{j=0}^{\infty}S_{2}\left(m,j\right)\frac{1}{j+1}P\left(n+1,j+1\right)\\ & =\sum_{j=0}^{\infty}j!S_{2}\left(m,j\right)C\left(n+1,j+1\right) \end{align*}
ページ情報
| タイトル | 冪乗和と第2種スターリング数の関係 |
| URL | https://www.nomuramath.com/gh4jlyim/ |
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スターリング数と上昇・下降階乗
\[
Q\left(x,n\right)=\sum_{k=0}^{n}\left(-1\right)^{n+k}S_{1}\left(n,k\right)x^{k}
\]
第1種スターリング数と第2種スターリング数の定義
\[
P\left(x,n\right)=\sum_{k=0}^{n}S_{1}\left(n,k\right)x^{k}
\]
第1種スターリング数の符号
\[
\left|S_{1}\left(n,k\right)\right|=\left(-1\right)^{n+k}S_{1}\left(n,k\right)
\]
(*)スターリング数と2項係数
\[
C\left(k,m\right)S_{1}\left(n,k\right)=\sum_{j=k-m}^{n-m}C\left(n,j\right)S_{1}\left(n-j,m\right)S_{1}\left(j,k-m\right),m\leq k
\]