(1)

\(n=0\)のとき

\(n=0\)のとき、左辺は、
\[ x^{0}\frac{d^{0}}{dx^{0}}=1 \] 右辺は、
\begin{align*} \sum_{k=0}^{\infty}S_{1}\left(0,k\right)\left(x\frac{d}{dx}\right)^{k} & =\sum_{k=0}^{\infty}\delta_{0,k}\left(x\frac{d}{dx}\right)^{k}\\ & =\left(x\frac{d}{dx}\right)^{0}\\ & =1 \end{align*} となるので成り立っている。

\(n=k+1\)のとき

\(n=k\)のとき成り立つと仮定すると、
\begin{align*} x^{k+1}\frac{d^{k+1}}{dx^{k+1}} & =xx^{k}\frac{d}{dx}\frac{d^{k}}{dx^{k}}\\ & =x\frac{d}{dx}x^{k}\frac{d^{k}}{dx^{k}}-kxx^{k-1}\frac{d^{k}}{dx^{k}}\\ & =\left(x\frac{d}{dx}-k\right)x^{k}\frac{d^{k}}{dx^{k}}\\ & =\left(x\frac{d}{dx}-k\right)\sum_{n=0}^{\infty}S_{1}\left(k,n\right)\left(x\frac{d}{dx}\right)^{n}\\ & =\sum_{n=0}^{\infty}S_{1}\left(k,n\right)\left(x\frac{d}{dx}\right)^{n+1}-k\sum_{n=0}^{\infty}S_{1}\left(k,n\right)\left(x\frac{d}{dx}\right)^{n}\\ & =\sum_{n=0}^{\infty}S_{1}\left(k,n-1\right)\left(x\frac{d}{dx}\right)^{n}-k\sum_{n=0}^{\infty}S_{1}\left(k,n\right)\left(x\frac{d}{dx}\right)^{n}-S_{1}\left(-1,k\right)\\ & =\sum_{n=0}^{\infty}\left\{ S_{1}\left(k,n-1\right)-kS_{1}\left(k,n\right)\right\} \left(x\frac{d}{dx}\right)^{n}\\ & =\sum_{n=0}^{\infty}S_{1}\left(k+1,n\right)\left(x\frac{d}{dx}\right)^{n} \end{align*} となるので、\(n=k+1\)でも成り立つ。
従って数学的帰納法より与式は成り立つ。

(2)

(1)より、
\begin{align*} \sum_{n=0}^{\infty}S_{2}\left(m,n\right)x^{n}\frac{d^{n}}{dx^{n}} & =\sum_{n=0}^{\infty}S_{2}\left(m,n\right)\sum_{k=0}^{\infty}S_{1}\left(n,k\right)\left(x\frac{d}{dx}\right)^{k}\\ & =\sum_{m=0}^{\infty}\sum_{n=0}^{\infty}S_{2}\left(m,n\right)S_{1}\left(n,k\right)\left(x\frac{d}{dx}\right)^{k}\\ & =\sum_{m=0}^{\infty}\delta_{m,k}\left(x\frac{d}{dx}\right)^{m}\cmt{\because\sum_{k=0}^{\infty}S_{2}\left(m,k\right)S_{1}\left(k,n\right)=\delta_{m,n}}\\ & =\left(x\frac{d}{dx}\right)^{k} \end{align*} となるので与式は成り立つ。

(2)-2

\(n=0\)のとき

\(n=0\)のとき、左辺は、
\[ \left(x\frac{d}{dx}\right)^{0}=1 \] 右辺は、
\begin{align*} \sum_{k=0}^{\infty}S_{2}\left(0,k\right)x^{k}\frac{d^{k}}{dx^{k}} & =\sum_{k=0}^{\infty}\delta_{0,k}x^{k}\frac{d^{k}}{dx^{k}}\\ & =x^{0}\frac{d^{0}}{dx^{0}}\\ & =1 \end{align*} となるので成り立っている。

\(n=k+1\)のとき

\(n=k\)のとき成り立っていると仮定すると、
\begin{align*} \left(x\frac{d}{dx}\right)^{k+1} & =x\frac{d}{dx}\sum_{j=0}^{\infty}S_{2}\left(k,j\right)x^{j}\frac{d^{j}}{dx^{j}}\\ & =\sum_{j=0}^{\infty}S_{2}\left(k,j\right)\left\{ jx^{j}\frac{d^{j}}{dx^{j}}+x^{j+1}\frac{d^{j+1}}{dx^{j+1}}\right\} \\ & =\sum_{j=0}^{\infty}\left\{ S_{2}\left(k,j\right)jx^{j}\frac{d^{j}}{dx^{j}}+S_{2}\left(k,j\right)x^{j+1}\frac{d^{j+1}}{dx^{j+1}}\right\} \\ & =\sum_{j=0}^{\infty}\left\{ S_{2}\left(k,j\right)jx^{j}\frac{d^{j}}{dx^{j}}+S_{2}\left(k,j-1\right)x^{j}\frac{d^{j}}{dx^{j}}\right\} -S_{2}\left(k,-1\right)\\ & =\sum_{j=0}^{\infty}\left\{ S_{2}\left(k,j-1\right)+jS_{2}\left(k,j\right)\right\} x^{j}\frac{d^{j}}{dx^{j}}\\ & =\sum_{j=0}^{\infty}S_{2}\left(k+1,j\right)x^{j}\frac{d^{j}}{dx^{j}} \end{align*} となるので\(n=k+1\)でも成り立つ。

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従って数学的帰納法より与式は成り立つ。