調和数の2項係数展開
調和数の2項係数展開
調和数\(H_{z}\)は2項係数を使って次のように表される。
\[ H_{z}=\sum_{k=1}^{\infty}\left(-1\right)^{k-1}\frac{1}{k}C\left(z,k\right) \]
調和数\(H_{z}\)は2項係数を使って次のように表される。
\[ H_{z}=\sum_{k=1}^{\infty}\left(-1\right)^{k-1}\frac{1}{k}C\left(z,k\right) \]
\(n\in\mathbb{N}_{0}\)のときは、
\[ H_{n}=\sum_{k=1}^{n}\left(-1\right)^{k-1}\frac{1}{k}C\left(n,k\right) \] となる。
\[ H_{n}=\sum_{k=1}^{n}\left(-1\right)^{k-1}\frac{1}{k}C\left(n,k\right) \] となる。
\begin{align*}
H_{z} & =\int_{0}^{1}\frac{1-x^{z}}{1-x}dx\\
& =\int_{0}^{1}\frac{1-\left(1-u\right)^{z}}{1-\left(1-u\right)}d\left(1-u\right)\\
& =-\int_{0}^{1}\frac{1-\sum_{k=0}^{\infty}C\left(z,k\right)\left(-u\right)^{k}}{u}du\\
& =\sum_{k=1}^{\infty}\left(-1\right)^{k-1}C\left(z,k\right)\int_{0}^{1}u^{k-1}du\\
& =\sum_{k=1}^{\infty}\left(-1\right)^{k-1}\frac{1}{k}C\left(z,k\right)
\end{align*}
ページ情報
| タイトル | 調和数の2項係数展開 |
| URL | https://www.nomuramath.com/bwfj39bt/ |
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調和数・一般化調和数を含む総和
\[
\sum_{k=1}^{n}H_{k,m}=\left(n+1\right)H_{n,m}-H_{n,m-1}
\]
調和数の相反公式
\[
H_{1-z}-H_{z}=\pi\tan^{-1}\left(\pi z\right)+\frac{1}{1-z}-\frac{1}{z}
\]
調和数・一般化調和数の積分
\[
\int H_{z}dz=\log\Gamma\left(z+1\right)+\gamma z+C
\]
調和数・一般化調和数の乗法公式
\[
H_{nz,m}=\frac{n^{m-1}-1}{n^{m-1}}\zeta\left(m\right)+\frac{1}{n^{m}}\sum_{k=0}^{n-1}H_{z+\frac{k}{n},m}
\]