3角形の垂心と円に内接する4角形
3角形の垂心と円に内接する4角形
3角形\(ABC\)があり垂心を\(H\)として直線\(AH\)と直線\(BC\)の交点を\(P\)、直線\(BH\)と直線\(CA\)の交点を\(Q\)、直線\(CH\)と直線\(AB\)の交点を\(R\)とする。
このとき4角形\(ARHQ,BPHR,CQHP\)は円に内接する。
3角形\(ABC\)があり垂心を\(H\)として直線\(AH\)と直線\(BC\)の交点を\(P\)、直線\(BH\)と直線\(CA\)の交点を\(Q\)、直線\(CH\)と直線\(AB\)の交点を\(R\)とする。
このとき4角形\(ARHQ,BPHR,CQHP\)は円に内接する。
\(\angle ARH=\angle HQA=90^{\circ}\)で\(\angle ARH+\angle HQA=180^{\circ}\)なので4角形\(ARHQ\)は円に内接する。
4角形\(BPHR,CQHP\)も同様である。
4角形\(BPHR,CQHP\)も同様である。
ページ情報
| タイトル | 3角形の垂心と円に内接する4角形 |
| URL | https://www.nomuramath.com/nh6bw354/ |
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ヘロンの公式
\[
S=\sqrt{s\left(s-a\right)\left(s-b\right)\left(s-c\right)}
\]
円となるための条件
\[
\frac{a^{2}+b^{2}}{4}-c>0
\]
4角形が円に外接するときの対辺の和
\[
\left|\overrightarrow{AB}\right|+\left|\overrightarrow{CD}\right|=\left|\overrightarrow{BC}\right|+\left|\overrightarrow{DA}\right|
\]
4角形の対角線と面積の関係
\[
S=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{AC}\times\overrightarrow{DB}\right)
\]