3角形の垂心と円に内接する4角形
3角形の垂心と円に内接する4角形
3角形\(ABC\)があり垂心を\(H\)として直線\(AH\)と直線\(BC\)の交点を\(P\)、直線\(BH\)と直線\(CA\)の交点を\(Q\)、直線\(CH\)と直線\(AB\)の交点を\(R\)とする。
このとき4角形\(ARHQ,BPHR,CQHP\)は円に内接する。
3角形\(ABC\)があり垂心を\(H\)として直線\(AH\)と直線\(BC\)の交点を\(P\)、直線\(BH\)と直線\(CA\)の交点を\(Q\)、直線\(CH\)と直線\(AB\)の交点を\(R\)とする。
このとき4角形\(ARHQ,BPHR,CQHP\)は円に内接する。
\(\angle ARH=\angle HQA=90^{\circ}\)で\(\angle ARH+\angle HQA=180^{\circ}\)なので4角形\(ARHQ\)は円に内接する。
4角形\(BPHR,CQHP\)も同様である。
4角形\(BPHR,CQHP\)も同様である。
ページ情報
| タイトル | 3角形の垂心と円に内接する4角形 |
| URL | https://www.nomuramath.com/nh6bw354/ |
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重心は中線を2:1に内分
3角形の面積を外接円・内接円の半径を使って表示
\begin{align*}
S & =\frac{abc}{4R}\\
& =\frac{1}{2}r\left(a+b+c\right)\\
& =2R^{2}\sin A\sin B\sin C\\
& =rR\left(\sin A+\sin B+\sin C\right)
\end{align*}
5心(重心・垂心・内心・外心・傍心)の位置
\[
\boldsymbol{H}=\frac{\tan A\boldsymbol{A}+\tan B\boldsymbol{B}+\tan C\boldsymbol{C}}{\tan A\tan B\tan C}
\]
第1余弦定理と第2余弦定理
\[
a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cos A
\]