重心は中線を2:1に内分
重心は中線を2:1に内分
重心は位置は中線を2:1に内分する位置である。
重心は位置は中線を2:1に内分する位置である。
直線\(AG\)と直線\(BC\)との交点を\(P\)とする。
\begin{align*} \overrightarrow{AG} & =\overrightarrow{OG}-\overrightarrow{OA}\\ & =\frac{\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}}{3}-\overrightarrow{OA}\\ & =\frac{\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AC}}{3}-\overrightarrow{OA}\\ & =\frac{\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}}{3}\\ & =\frac{2}{3}\frac{\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}}{2}\\ & =\frac{2}{3}\overrightarrow{AP} \end{align*} これより、\(\overrightarrow{GP}=\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{AP}=-\frac{2}{3}\overrightarrow{AP}+\overrightarrow{AP}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AP}\)となるので\(\left|AG\right|:\left|GP\right|=2:1\)となる。
\begin{align*} \overrightarrow{AG} & =\overrightarrow{OG}-\overrightarrow{OA}\\ & =\frac{\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}}{3}-\overrightarrow{OA}\\ & =\frac{\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AC}}{3}-\overrightarrow{OA}\\ & =\frac{\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}}{3}\\ & =\frac{2}{3}\frac{\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}}{2}\\ & =\frac{2}{3}\overrightarrow{AP} \end{align*} これより、\(\overrightarrow{GP}=\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{AP}=-\frac{2}{3}\overrightarrow{AP}+\overrightarrow{AP}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AP}\)となるので\(\left|AG\right|:\left|GP\right|=2:1\)となる。
ページ情報
| タイトル | 重心は中線を2:1に内分 |
| URL | https://www.nomuramath.com/dmi4y13f/ |
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4角形の対辺同士の内積
\[
\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{CD}=\frac{1}{2}\left(b^{2}+d^{2}-p^{2}-q^{2}\right)
\]
円に内接する4角形の余弦
\[
\cos A=\frac{\left|DA\right|^{2}+\left|AB\right|^{2}-\left|BC\right|^{2}-\left|CD\right|^{2}}{2\left(\left|DA\right|\left|AB\right|+\left|BC\right|\left|CD\right|\right)}
\]
ヘロンの公式
\[
S=\sqrt{s\left(s-a\right)\left(s-b\right)\left(s-c\right)}
\]
正弦定理
\[
\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R
\]