重心は中線を2:1に内分

直線\(AG\)と直線\(BC\)との交点を\(P\)とする。
\begin{align*} \overrightarrow{AG} & =\overrightarrow{OG}-\overrightarrow{OA}\\ & =\frac{\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}}{3}-\overrightarrow{OA}\\ & =\frac{\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AC}}{3}-\overrightarrow{OA}\\ & =\frac{\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}}{3}\\ & =\frac{2}{3}\frac{\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}}{2}\\ & =\frac{2}{3}\overrightarrow{AP} \end{align*} これより、\(\overrightarrow{GP}=\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{AP}=-\frac{2}{3}\overrightarrow{AP}+\overrightarrow{AP}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AP}\)となるので\(\left|AG\right|:\left|GP\right|=2:1\)となる。