包含写像・射影・商写像は連続写像
包含写像・射影・商写像は連続写像
包含写像・射影・商写像は連続写像となる。
包含写像・射影・商写像は連続写像となる。
(1)
位相空間\(\left(X,\mathcal{O}\right)\)と部分集合\(A\subseteq X\)があるとき、包含写像\(\iota:A\rightarrow X\)は連続写像となる。(2)
位相空間\(\left(X,\mathcal{O}_{X}\right),\left(Y,\mathcal{O}_{Y}\right)\)があるとき、射影\(\pi_{X}:X\times Y\rightarrow X\)は連続写像となる。(3)
位相空間\(\left(X,\mathcal{O}\right)\)と商集合\(X\setminus\sim\)があるとき、商写像\(f:X\rightarrow X\setminus\sim\)は連続写像となる。(1)
\(A\)での部分位相\(\left(A,\mathcal{O}_{A}\right)\)は\(\mathcal{O}_{A}=\left\{ O\cap A;O\in\mathcal{O}\right\} \)なので、任意の\(O\in\mathcal{O}\)に対し、\(\iota^{\bullet}\left(O\right)=A\cap O\in\mathcal{O}_{A}\)となるので\(\iota\)は連続写像になる。(2)
\(Y\in\mathcal{O}_{Y}\)であり、\(X\times Y\)での位相を\(\mathcal{O}_{X\times Y}\)とする。任意の\(O_{X}\in\mathcal{O}_{X}\)に対し、\(O_{X}\times Y\)は\(\mathcal{O}_{X\times Y}\)の開基になるので\(\pi_{X}^{\bullet}\left(O_{X}\right)=O_{X}\times Y\in\mathcal{O}_{X\times Y}\)となり、\(\pi_{X}\)は連続写像になる。
(3)
\(X\setminus\sim\)の開集合全体の集合は\(\mathcal{O}_{X\setminus\sim}=\left\{ O_{X\setminus\sim};f^{\bullet}\left(O_{X\setminus\sim}\right)\in\mathcal{O}_{X}\right\} \)なので連続写像となる。
ページ情報
| タイトル | 包含写像・射影・商写像は連続写像 |
| URL | https://www.nomuramath.com/fg4a1dnk/ |
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ネイピア数と極限
\[
\lim_{h\rightarrow0}\left(1-h\right)^{\frac{1}{h}}=\frac{1}{e}
\]
ウォリス積分の同表示
\[
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin^{n}\theta d\theta=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos^{n}\theta d\theta
\]
3角形の成立条件
\[
\text{3角形の3辺の長さが}a,b,c\Leftrightarrow\left|b-c\right|<a<b+c
\]
論理演算同士の関係
\begin{align*}
P\lor Q & \Leftrightarrow\lnot P\uparrow\lnot Q\\
& \Leftrightarrow\lnot P\rightarrow Q\\
& \Leftrightarrow P\leftarrow\lnot Q\\
& \Leftrightarrow\lnot\left(\lnot P\land\lnot Q\right)\\
& \Leftrightarrow\lnot\left(P\downarrow Q\right)\\
& \Leftrightarrow\lnot\left(\lnot P\nrightarrow Q\right)\\
& \Leftrightarrow\lnot\left(P\nleftarrow Q\right)
\end{align*}