xのx乗が指数タワーになってる定積分

被積分関数を
\[ y=\left(x^{x}\right)^{\left(x^{x}\right)^{\left(x^{x}\right)^{\iddots}}} \] とおくと、\(0\leq x\leq1\)なので、\(0\leq y\)となり、
\begin{align*} y & =\left(x^{x}\right)^{y}\\ & =x^{xy} \end{align*} となる。
両辺に\(x^{-xy}\)を掛けて、
\begin{align*} 1 & =yx^{-xy}\\ & =ye^{-xy\log x}\\ & =\frac{-xy\log x}{-x\log x}e^{-xy\log x} \end{align*} となるので、
\[ -x\log x=-xy\log xe^{-xy\log x} \] となる。
この両辺にランベルトのW関数を作用させると、
\[ W\left(-x\log x\right)=-xy\log x \] となるので、
\[ y=\frac{W\left(-x\log x\right)}{-x\log x} \] となる。
これより、
\begin{align*} \int_{0}^{1}\left(x^{x}\right)^{\left(x^{x}\right)^{\left(x^{x}\right)^{\iddots}}}dx & =\int_{0}^{1}ydx\\ & =\int_{0}^{1}\frac{W\left(-x\log x\right)}{-x\log x}dx\\ & =\int_{0}^{1}\frac{1}{-x\log x}\sum_{k=1}^{\infty}\frac{\left(-k\right)^{k-1}}{k!}\left(-x\log x\right)^{k}dx\cmt{W\left(x\right)=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{\left(-k\right)^{k-1}}{k!}x^{k}}\\ & =\int_{0}^{1}\sum_{k=1}^{\infty}\frac{k^{k-1}}{k!}x^{k-1}\log^{k-1}xdx\\ & =\sum_{k=1}^{\infty}\frac{k^{k-1}}{k!}\int_{0}^{1}x^{k-1}\log^{k-1}xdx\\ & =\sum_{k=1}^{\infty}\frac{k^{k-1}}{k!}\cdot\frac{\left(-1\right)^{k-1}\Gamma\left(k\right)}{k^{k}}dx\cmt{\int_{0}^{1}x^{k}\log^{k}xdx=\frac{\left(-1\right)^{k}k!}{\left(k+1\right)^{k+1}}dx}\\ & =\sum_{k=1}^{\infty}\frac{\left(-1\right)^{k-1}}{k^{2}}dx\\ & =\eta\left(2\right)\\ & =\left(1-2\frac{1}{2^{2}}\right)\zeta\left(2\right)\\ & =\frac{\zeta\left(2\right)}{2}\\ & =\frac{1}{2}\cdot\frac{\pi^{2}}{6}\\ & =\frac{\pi^{2}}{12} \end{align*}