開基の基本性質

\(\Rightarrow\)

条件より\(\mathcal{B}\)は開基なので、任意の開集合\(O\in\mathcal{O}\)に対し、\(\mathcal{B}\)のある部分集合\(\left\{ B_{\lambda};\lambda\in\Lambda\right\} \subseteq\mathcal{B}\)が存在し\(O=\bigcup\left\{ B_{\lambda};\lambda\in\Lambda\right\} =\bigcup_{\lambda\in\Lambda}B_{\lambda}\)となる。
従って任意の元\(x\in O\)に対し、ある\(\lambda\in\Lambda\)が存在し、\(x\in B_{\lambda}\)となる。
これより\(O=\bigcup_{\lambda\in\Lambda}B_{\lambda}\)なので\(B_{\lambda}\subseteq O\)となり、\(x\in B_{\lambda}\subseteq O\)となる。
故に\(\Rightarrow\)が成り立つ。

\(\Leftarrow\)

条件より、任意の開集合\(O\in\mathcal{O}\)と任意の元\(x\in O\)に対し、ある\(\mathcal{B}\)の元\(B_{x}\in\mathcal{B}\)が存在し、\(x\in B_{x}\subseteq O\)となる。
これより、任意の開集合\(O\)に対して、\(O=\bigcup_{x\in O}B_{x}\)とできるので\(\mathcal{B}\)は開基となる。
故に\(\Leftarrow\)が成り立つ。

\(\Leftrightarrow\)

これらより、\(\Rightarrow\)と\(\Leftarrow\)が成り立つので\(\Leftrightarrow\)が成り立つ。