開基の基本性質
位相空間\(\left(X,\mathcal{O}\right)\)で\(\mathcal{B}\)が開基であることと、任意の開集合\(O\in\mathcal{O}\)と任意の元\(x\in O\)に対し、ある\(\mathcal{B}\)の元\(B\in\mathcal{B}\)が存在し、\(x\in B\subseteq O\)となることは同値である。
位相空間\(\left(X,\mathcal{O}\right)\)で\(\mathcal{B}\)が開基であることと、任意の開集合\(O\in\mathcal{O}\)と任意の元\(x\in O\)に対し、ある\(\mathcal{B}\)の元\(B\in\mathcal{B}\)が存在し、\(x\in B\subseteq O\)となることは同値である。
\(\Rightarrow\)
条件より\(\mathcal{B}\)は開基なので、任意の開集合\(O\in\mathcal{O}\)に対し、\(\mathcal{B}\)のある部分集合\(\left\{ B_{\lambda};\lambda\in\Lambda\right\} \subseteq\mathcal{B}\)が存在し\(O=\bigcup\left\{ B_{\lambda};\lambda\in\Lambda\right\} =\bigcup_{\lambda\in\Lambda}B_{\lambda}\)となる。従って任意の元\(x\in O\)に対し、ある\(\lambda\in\Lambda\)が存在し、\(x\in B_{\lambda}\)となる。
これより\(O=\bigcup_{\lambda\in\Lambda}B_{\lambda}\)なので\(B_{\lambda}\subseteq O\)となり、\(x\in B_{\lambda}\subseteq O\)となる。
故に\(\Rightarrow\)が成り立つ。
\(\Leftarrow\)
条件より、任意の開集合\(O\in\mathcal{O}\)と任意の元\(x\in O\)に対し、ある\(\mathcal{B}\)の元\(B_{x}\in\mathcal{B}\)が存在し、\(x\in B_{x}\subseteq O\)となる。これより、任意の開集合\(O\)に対して、\(O=\bigcup_{x\in O}B_{x}\)とできるので\(\mathcal{B}\)は開基となる。
故に\(\Leftarrow\)が成り立つ。
\(\Leftrightarrow\)
これらより、\(\Rightarrow\)と\(\Leftarrow\)が成り立つので\(\Leftrightarrow\)が成り立つ。
ページ情報
| タイトル | 開基の基本性質 |
| URL | https://www.nomuramath.com/ezz4tc0h/ |
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単調増加列・単調減少列同士の積集合と和集合
\[
A_{k}\nearrow_{k\in\mathbb{N}},B_{k}\nearrow_{k\in\mathbb{N}}\Rightarrow\bigcup_{k=1}^{\infty}\left(A_{k}\cap B_{k}\right)=\bigcup_{k=1}^{\infty}A_{k}\cap\bigcup_{k=1}^{\infty}B_{k}
\]
集合列の和集合と積集合の包含関係
\[
\forall m,n\in\mathbb{N},\bigcap_{k=m}^{\infty}A_{k}\subseteq\bigcup_{k=n}^{\infty}A_{k}
\]
2つの集合族同士の演算
\[
\left(\prod_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}\right)\cap\left(\prod_{\mu\in\Lambda}B_{\mu}\right)=\prod_{\lambda\in\Lambda}\left(A_{\lambda}\cap B_{\lambda}\right)
\]
和集合・積集合の元とそれぞれの集合との関係
\[
a\in\bigcup_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}\Leftrightarrow\bigvee_{\lambda\in\Lambda}a\in A_{\lambda}
\]