分母に総和がある数の総和
分母に総和がある数の総和
次の総和を求めよ。
\[ \frac{1}{1}+\frac{1}{1+2}+\frac{1}{1+2+3}+\frac{1}{1+2+3+4}+\cdots=? \]
次の総和を求めよ。
\[ \frac{1}{1}+\frac{1}{1+2}+\frac{1}{1+2+3}+\frac{1}{1+2+3+4}+\cdots=? \]
\begin{align*}
\frac{1}{1}+\frac{1}{1+2}+\frac{1}{1+2+3}+\frac{1}{1+2+3+4}+\cdots & =\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{\sum_{j=1}^{k}j}\\
& =\sum_{k=1}^{\infty}\frac{2}{k\left(k+1\right)}\\
& =2\sum_{k=1}^{\infty}\left(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}\right)\\
& =2\left(\frac{1}{1}-\lim_{k\rightarrow\infty}\frac{1}{k+1}\right)\\
& =2
\end{align*}
ページ情報
| タイトル | 分母に総和がある数の総和 |
| URL | https://www.nomuramath.com/uqpvp5a2/ |
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2項係数の3の倍数の総和
\[
\sum_{k=0}^{\infty}C\left(3n,3k\right)=?
\]
ベータ関数の逆数を含む総和
\[
\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{\sqrt{n}}\sum_{k=0}^{n}\frac{\left(-1\right)^{k}}{B\left(n-k+1,k+1\right)\left(2k+1\right)}=?
\]
2項係数の2重和の問題
\[
\sum_{k=0}^{n}C\left(n,k\right)\sum_{j=k}^{n}C\left(n+1,j+1\right)=?
\]
分母に階乗の和を含む総和
\[
\frac{3}{1!+2!+3!}+\frac{4}{2!+3!+4!}+\frac{5}{3!+4!+5!}+\cdots+\frac{100}{98!+99!+100!}=?
\]