(1)

倍角の公式より、
\begin{align*} \cos\left(2z\right) & =\cos^{2}z-\sin^{2}z\\ & =\cos^{2}z-\left(1-\cos^{2}z\right)\\ & =2\cos^{2}z-1 \end{align*} なので、
\[ 1+\cos\left(2z\right)=2\cos^{2}z \] となり\(z\rightarrow\frac{z}{2}\)とおくと、
\[ 1+\cos z=2\cos^{2}\frac{z}{2} \] となるので題意は成り立つ。

(2)

倍角の公式より、
\begin{align*} \cos\left(2z\right) & =\cos^{2}z-\sin^{2}z\\ & =1-\sin^{2}z-\sin^{2}z\\ & =1-2\sin^{2}z \end{align*} なので、
\[ 1-\cos\left(2z\right)=2\sin^{2}z \] となり\(z\rightarrow\frac{z}{2}\)とおくと、
\[ 1-\cos z=2\sin^{2}\frac{z}{2} \] となるので題意は成り立つ。

(3)

倍角の公式より、
\begin{align*} \sin\left(2z\right) & =2\sin z\cos z\\ & =\left(\cos z+\sin z\right)^{2}-\left(\cos^{2}z+\sin^{2}z\right)\\ & =\left(\cos z+\sin z\right)^{2}-1 \end{align*} なので、
\[ 1+\sin\left(2z\right)=\left(\cos z+\sin z\right)^{2} \] となり\(z\rightarrow\frac{z}{2}\)とおくと、
\[ 1+\sin z=\left(\cos z+\sin\frac{z}{2}\right)^{2} \] となるので題意は成り立つ。

(4)

倍角の公式より、
\begin{align*} \sin\left(2z\right) & =2\sin z\cos z\\ & =-\left(\cos z-\sin z\right)^{2}+\left(\cos^{2}z+\sin^{2}z\right)\\ & =-\left(\cos z+\sin z\right)^{2}+1 \end{align*} なので、
\[ 1-\sin\left(2z\right)=\left(\cos z-\sin z\right)^{2} \] となり\(z\rightarrow\frac{z}{2}\)とおくと、
\[ 1+\sin z=\left(\cos\frac{z}{2}-\sin\frac{z}{2}\right)^{2} \] となるので題意は成り立つ。

(5)

(1)より、
\begin{align*} 1+\cosh z & =1+\cos\left(iz\right)\\ & =2\cos^{2}\frac{iz}{2}\\ & =2\cosh^{2}\frac{z}{2} \end{align*}

(5)-2

倍角の公式より、
\begin{align*} \cosh\left(2z\right) & =\cosh^{2}z+\sinh^{2}z\\ & =\cosh^{2}z+\left(\cosh^{2}z-1\right)\\ & =2\cosh^{2}z-1 \end{align*} なので、
\[ 1+\cosh\left(2z\right)=2\cosh^{2}z \] となり\(z\rightarrow\frac{z}{2}\)とおくと、
\[ 1+\cosh z=2\cosh^{2}\frac{z}{2} \] となるので題意は成り立つ。

(6)

(2)より、
\begin{align*} 1-\cosh z & =1-\cos\left(iz\right)\\ & =2\sin^{2}\frac{iz}{2}\\ & =2i^{2}\sin^{2}\frac{z}{2}\\ & =-2\sinh^{2}\frac{z}{2} \end{align*}

(6)-2

倍角の公式より、
\begin{align*} \cosh\left(2z\right) & =\cosh^{2}z+\sinh^{2}z\\ & =1+\sinh^{2}z+\sinh^{2}z\\ & =1+2\sinh^{2}z \end{align*} なので、
\[ 1-\cosh\left(2z\right)=-2\sinh^{2}z \] となり\(z\rightarrow\frac{z}{2}\)とおくと、
\[ 1-\cosh z=-2\sinh^{2}\frac{z}{2} \] となるので題意は成り立つ。

(7)

(3)より、
\begin{align*} 1+i\sinh z & =1+\sin\left(iz\right)\\ & =\left(\cos\frac{iz}{2}+\sin\frac{iz}{2}\right)^{2}\\ & =\left(\cosh\frac{z}{2}+i\sinh\frac{z}{2}\right)^{2} \end{align*}

(7)-2

倍角の公式より、
\begin{align*} \sinh\left(2z\right) & =2\sinh z\cosh z\\ & =-i\left(\cosh z+i\sinh z\right)^{2}+i\left(\cosh^{2}z-\sinh^{2}z\right)\\ & =-i\left(\cosh z+i\sinh z\right)^{2}+i \end{align*} なので、
\[ 1+i\sinh\left(2z\right)=\left(\cosh z+i\sinh z\right)^{2} \] となり\(z\rightarrow\frac{z}{2}\)とおくと、
\[ 1+i\sinh z=\left(i\sinh\frac{z}{2}+\cosh\frac{z}{2}\right)^{2} \] となるので題意は成り立つ。

(8)

(4)より、
\begin{align*} 1-i\sinh z & =1-\sin\left(iz\right)\\ & =\left(\cos\frac{iz}{2}-\sin\frac{iz}{2}\right)^{2}\\ & =\left(\cosh\frac{z}{2}-i\sinh\frac{z}{2}\right)^{2} \end{align*}

(8)-2

倍角の公式より、
\begin{align*} \sinh\left(2z\right) & =2\sinh z\cosh z\\ & =-\left(\cosh z-i\sinh z\right)^{2}+\left(\cosh^{2}z-\sinh^{2}z\right)\\ & =-\left(\cosh z-i\sinh z\right)^{2}+1 \end{align*} なので、
\[ 1-\sinh\left(2z\right)=\left(\cosh z-i\sinh z\right)^{2} \] となり\(z\rightarrow\frac{z}{2}\)とおくと、
\[ 1+\sinh z=\left(\cosh\frac{z}{2}-i\sinh\frac{z}{2}\right)^{2} \] となるので題意は成り立つ。