数列が収束するならば有界
数列が収束するならば有界
数列が収束するならば有界である。
逆は一般的に成り立たない。
数列が収束するならば有界である。
逆は一般的に成り立たない。
\(\Rightarrow\)
数列\(\left(a_{n}\right)_{n\in\mathbb{N}}\)が\(a\)に収束するとする。このとき、
\[ \forall\epsilon>0,\exists N\in\mathbb{N},N\leq n\rightarrow\left|a_{n}-a\right|<\epsilon \] となるので、任意の\(\epsilon>0\)に対し、ある\(N\in\mathbb{N}\)が存在し、\(N\leq n\)のとき、\(\left|a_{n}-a\right|<\epsilon\)より\(a-\epsilon<a_{n}<a+\epsilon\)となるので\(a_{n}\)は有界となる。
また、\(n<N\)のときは、\(\min\left\{ a_{n}\right\} _{n<N}\leq a_{n}\leq\max\left\{ a_{n}\right\} _{n<N}\)となるので\(a_{n}\)は有界となる。
これより、任意の\(m\in\mathbb{N}\)に対し、\(\min\left\{ \min\left\{ a_{n}\right\} _{n<N},a-\epsilon\right\} \leq a_{m}\leq\max\left\{ \max\left\{ a_{n}\right\} _{n<N},a+\epsilon\right\} \)となるので\(a_{m}\)は有界となる。
従って\(\Rightarrow\)が成り立つ。
逆は一般的に成り立たない
反例で示す。\(a_{n}=\left(-1\right)^{n}\)とすると有界であるが収束しない。
故に逆は一般的に成り立たない。
ページ情報
タイトル | 数列が収束するならば有界 |
URL | https://www.nomuramath.com/rgn3p89c/ |
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収束する数列の部分列は同じ値に収束する
無限数列$\left(a_{n}\right)$が収束するとき、その部分列$\left(a_{\sigma\left(n\right)}\right)$も同じ値に収束する。
収束列・コーシー列・完備・完備化の定義
\[
\lim_{n,m\rightarrow\infty}d\left(a_{m},a_{n}\right)=0
\]
ワイエルシュトラスのM判定法(優級数判定法)
項別積分と項別微分
\[
\sum_{k=1}^{\infty}\int_{a}^{b}f_{k}\left(x\right)dx=\int_{a}^{b}\sum_{k=1}^{\infty}f_{k}\left(x\right)dx
\]