内部の最大性と閉包の最小性

by nomura · 2023年7月27日

内部の最大性と閉包の最小性
位相空間$\left(X,\mathcal{O}\right)$とその部分集合$A\subseteq X$と開集合$O\in\mathcal{O}$と閉集合$F=O^{c}$がある。
このとき次が成り立つ。

(1)内部の最大性

\[ O\subseteq A\Leftrightarrow O\subseteq A^{i} \]

(2)閉包の最小性

\[ A\subseteq F\Leftrightarrow A^{a}\subseteq F \]

-

$A^{i}$は内部
$A^{a}$は閉包

(1)

$\Rightarrow$

$O\nsubseteq A^{i}$と仮定すると、$A^{i}\subsetneq A^{i}\cup O$となる。
このとき、$A^{i},O$は共に開集合なので、$A^{i}\cup O$も開集合となるが、$O\subseteq A\land A^{i}\subseteq A$なので$A^{i}\cup O\subseteq A$となる。
従って$A^{i}\subsetneq A^{i}\cup O\subseteq A$となり、$A^{i}$は$A$に含まれる最大の開集合であるがその間に開集合$A^{i}\cup O$が存在するので矛盾。
故に背理法より、$O\subseteq A^{i}$となる。

$\Leftarrow$

$O\subseteq A^{i}$のとき$O\subseteq A^{i}\subseteq A$が成り立つので$\Leftarrow$が成り立つ。

$\Leftrightarrow$

これらより、$\Rightarrow$と$\Leftarrow$が成り立つので$\Leftrightarrow$が成り立つ。

(2)

(1)より、$A^{c}\subseteq O^{c}\leftrightarrow A^{ic}\subseteq O^{c}\Leftrightarrow A^{c}\subseteq F\leftrightarrow A^{ca}\subseteq F$となるので$A^{c}\rightarrow A$と置きなおせば$A\subseteq F\leftrightarrow A^{a}\subseteq F$となり与式が成り立つ。

(2)-2

$\Rightarrow$

$A^{a}\nsubseteq F$と仮定すると、$A^{a}\cap F\subsetneq A^{a}$となる。
このとき、$A^{a},F$は共に閉集合なので、$A^{a}\cap F$も閉集合となるが、$A\subseteq F\land A\subseteq A^{a}$なので$A\subseteq A^{a}\cap F$となる。
従って$A\subseteq A^{a}\cap F\subsetneq A^{a}$となり、$A^{a}$は$A$を含む最小の閉集合であるがその間に閉集合$A^{a}\cap F$が存在するので矛盾。
故に背理法より、$A^{a}\subseteq F$となる。