(1)

\(\Rightarrow\)

\(O\nsubseteq A^{i}\)と仮定すると、\(A^{i}\subsetneq A^{i}\cup O\)となる。
このとき、\(A^{i},O\)は共に開集合なので、\(A^{i}\cup O\)も開集合となるが、\(O\subseteq A\land A^{i}\subseteq A\)なので\(A^{i}\cup O\subseteq A\)となる。
従って\(A^{i}\subsetneq A^{i}\cup O\subseteq A\)となり、\(A^{i}\)は\(A\)に含まれる最大の開集合であるがその間に開集合\(A^{i}\cup O\)が存在するので矛盾。
故に背理法より、\(O\subseteq A^{i}\)となる。

\(\Leftarrow\)

\(O\subseteq A^{i}\)のとき\(O\subseteq A^{i}\subseteq A\)が成り立つので\(\Leftarrow\)が成り立つ。

\(\Leftrightarrow\)

これらより、\(\Rightarrow\)と\(\Leftarrow\)が成り立つので\(\Leftrightarrow\)が成り立つ。

(2)

(1)より、\(A^{c}\subseteq O^{c}\leftrightarrow A^{ic}\subseteq O^{c}\Leftrightarrow A^{c}\subseteq F\leftrightarrow A^{ca}\subseteq F\)となるので\(A^{c}\rightarrow A\)と置きなおせば\(A\subseteq F\leftrightarrow A^{a}\subseteq F\)となり与式が成り立つ。

(2)-2

\(\Rightarrow\)

\(A^{a}\nsubseteq F\)と仮定すると、\(A^{a}\cap F\subsetneq A^{a}\)となる。
このとき、\(A^{a},F\)は共に閉集合なので、\(A^{a}\cap F\)も閉集合となるが、\(A\subseteq F\land A\subseteq A^{a}\)なので\(A\subseteq A^{a}\cap F\)となる。
従って\(A\subseteq A^{a}\cap F\subsetneq A^{a}\)となり、\(A^{a}\)は\(A\)を含む最小の閉集合であるがその間に閉集合\(A^{a}\cap F\)が存在するので矛盾。
故に背理法より、\(A^{a}\subseteq F\)となる。

\(\Leftarrow\)

\(A^{a}\subseteq F\)のとき\(A\subseteq A^{a}\subseteq F\)が成り立つので\(\Leftarrow\)が成り立つ。

\(\Leftrightarrow\)

これらより、\(\Rightarrow\)と\(\Leftarrow\)が成り立つので\(\Leftrightarrow\)が成り立つ。