リーマン・ゼータ関数とフルヴィッツ・ゼータ関数の関係
リーマン・ゼータ関数とフルヴィッツ・ゼータ関数の関係
\[ \zeta\left(s,1\right)=\zeta\left(s\right) \]
\(\zeta\left(\alpha\right)\)はリーマン・ゼータ関数
\[ \zeta\left(s,1\right)=\zeta\left(s\right) \]
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\(\zeta\left(\alpha,\beta\right)\)はフルヴィッツ・ゼータ関数\(\zeta\left(\alpha\right)\)はリーマン・ゼータ関数
\begin{align*}
\zeta\left(s,1\right) & =\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{\left(1+k\right)^{s}}\\
& =\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^{s}}\\
& =\zeta\left(s\right)
\end{align*}
ページ情報
タイトル | リーマン・ゼータ関数とフルヴィッツ・ゼータ関数の関係 |
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偶数ゼータの通常型母関数
\[
\sum_{k=1}^{\infty}\zeta(2k)x^{2k}=\frac{1}{2}\left(1-\pi x\tan^{-1}\left(\pi x\right)\right)
\]
フルヴィッツのゼータ関数の定義
\[
\zeta\left(s,\alpha\right)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{\left(\alpha+k\right)^{s}}
\]
すべての自然数の積(解析接続あり)
\[
\prod_{k=1}^{\infty}k=\sqrt{2\pi}
\]
ζ(4k)の総和
\[
\sum_{k=1}^{\infty}\left(\zeta(4k)-1\right)=\frac{7}{8}-\frac{\pi}{4}\tanh^{-1}\pi
\]