リーマン・ゼータ関数とフルヴィッツ・ゼータ関数の関係
リーマン・ゼータ関数とフルヴィッツ・ゼータ関数の関係
\[ \zeta\left(s,1\right)=\zeta\left(s\right) \]
\(\zeta\left(\alpha\right)\)はリーマン・ゼータ関数
\[ \zeta\left(s,1\right)=\zeta\left(s\right) \]
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\(\zeta\left(\alpha,\beta\right)\)はフルヴィッツ・ゼータ関数\(\zeta\left(\alpha\right)\)はリーマン・ゼータ関数
\begin{align*}
\zeta\left(s,1\right) & =\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{\left(1+k\right)^{s}}\\
& =\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^{s}}\\
& =\zeta\left(s\right)
\end{align*}
ページ情報
| タイトル | リーマン・ゼータ関数とフルヴィッツ・ゼータ関数の関係 |
| URL | https://www.nomuramath.com/jxqyaxms/ |
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すべての自然数の積(解析接続あり)
\[
\prod_{k=1}^{\infty}k=\sqrt{2\pi}
\]
フルヴィッツ・ゼータ関数の乗法定理
\[
n^{s}\zeta\left(s,nz\right)=\sum_{k=0}^{n-1}\zeta\left(s,z+\frac{k}{n}\right)
\]
ゼータ関数とイータ関数とガンマ関数
\[
\zeta(s)=\frac{1}{\Gamma(s)}\int_{0}^{\infty}\frac{x^{s-1}}{e^{x}-1}dx
\]
リーマン・ゼータ関数を含む総和
\[
\sum_{k=2}^{\infty}\frac{\zeta\left(k\right)-1}{k}=1-\gamma
\]