三角関数を正接の半角、双曲線関数を双曲線正接の半角で表す。
三角関数を正接の半角で表す
(1)
\[ \tan z=\frac{2\tan\frac{z}{2}}{1-\tan^{2}\frac{z}{2}} \](2)
\[ \sin z=\frac{2\tan\frac{z}{2}}{1+\tan^{2}\frac{z}{2}} \](3)
\[ \cos z=\frac{1-\tan^{2}\frac{z}{2}}{1+\tan^{2}\frac{z}{2}} \](1)
\begin{align*} \tan z & =\tan\left(\frac{z}{2}+\frac{z}{2}\right)\\ & =\frac{\tan\frac{z}{2}+\tan\frac{z}{2}}{1-\tan\frac{z}{2}\tan\frac{z}{2}}\\ & =\frac{2\tan\frac{z}{2}}{1-\tan^{2}\frac{z}{2}} \end{align*}(2)
\begin{align*} \sin z & =\sin\left(\frac{z}{2}+\frac{z}{2}\right)\\ & =2\sin\frac{z}{2}\cos\frac{z}{2}\\ & =2\tan\frac{z}{2}\cos^{2}\frac{z}{2}\\ & =\frac{2\tan\frac{z}{2}}{1+\tan^{2}\frac{z}{2}} \end{align*}(3)
\begin{align*} \cos z & =\cos\left(\frac{z}{2}+\frac{z}{2}\right)\\ & =\cos^{2}\frac{z}{2}-\sin^{2}\frac{z}{2}\\ & =\left(1-\tan^{2}\frac{z}{2}\right)\cos^{2}\frac{z}{2}\\ & =\frac{1-\tan^{2}\frac{z}{2}}{1+\tan^{2}\frac{z}{2}} \end{align*}双曲線関数を双曲線正接の半角で表す
(1)
\[ \tanh z=\frac{2\tanh\frac{z}{2}}{1+\tanh^{2}\frac{z}{2}} \](2)
\[ \sinh z=\frac{2\tanh\frac{z}{2}}{1-\tanh^{2}\frac{z}{2}} \](3)
\[ \cosh z=\frac{1+\tanh^{2}\frac{z}{2}}{1-\tanh^{2}\frac{z}{2}} \](1)
\begin{align*} \tanh z & =-i\tan\left(iz\right)\\ & =-i\frac{2\tan\frac{iz}{2}}{1-\tan^{2}\frac{iz}{2}}\\ & =\frac{2\tanh\frac{z}{2}}{1+\tanh^{2}\frac{z}{2}} \end{align*}(2)
\begin{align*} \sinh z & =-i\sin\left(iz\right)\\ & =-i\frac{2\tan\frac{iz}{2}}{1+\tan^{2}\frac{iz}{2}}\\ & =\frac{2\tanh\frac{z}{2}}{1-\tanh^{2}\frac{z}{2}} \end{align*}(3)
\begin{align*} \cosh z & =\cos\left(iz\right)\\ & =\frac{1-\tan^{2}\frac{iz}{2}}{1+\tan^{2}\frac{iz}{2}}\\ & =\frac{1+\tanh^{2}\frac{z}{2}}{1-\tanh^{2}\frac{z}{2}} \end{align*}
ページ情報
| タイトル | 三角関数を正接の半角、双曲線関数を双曲線正接の半角で表す。 |
| URL | https://www.nomuramath.com/hi9nbkia/ |
| SNSボタン |
三角関数と双曲線関数の対数の積分
\[
\int\Log\sin^{\alpha}zdz=z\Log\sin^{\alpha}x+\frac{i\alpha}{2}z^{2}+\alpha z\Li_{1}\left(e^{2iz}\right)+\frac{i\alpha}{2}\Li_{2}\left(e^{2iz}\right)+\C{}
\]
1±itan(z)など
\[
1\pm i\tan z=\frac{1}{\cos\left(2\Re z\right)+\cosh\left(2\Im z\right)}\left(e^{\pm2i\Re z}+e^{\mp2\Im z}\right)
\]
三角関数と双曲線関数の積分
\[
\int\cos xdx=\sin x
\]
双曲線関数と三角関数の級数展開
\[
\tanh x=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{2^{2k}\left(2^{2k}-1\right)B_{2k}}{(2k)!}x{}^{2k-1}
\]