三角関数と双曲線関数の対数
三角関数の対数
対数を多価関数とすると以下が成り立つ。
対数を多価関数とすると以下が成り立つ。
(1)
\[ \log\sin x=-\log2+\frac{\pi}{2}i-ix-Li_{1}\left(e^{2ix}\right) \](2)
\[ \log\cos x=-\log2-ix-Li_{1}\left(-e^{2ix}\right) \](3)
\[ \log\tan x=\frac{\pi}{2}i-Li_{1}\left(e^{2ix}\right)+Li_{1}\left(-e^{2ix}\right)+\log1 \](1)
\begin{align*} \log\sin x & =\log\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}\\ & =\log\frac{ie^{-ix}}{2}+\log\left(1-e^{2ix}\right)\\ & =-\log2+\frac{\pi}{2}i-ix-Li_{1}\left(e^{2ix}\right) \end{align*}(2)
\begin{align*} \log\cos x & =\log\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}\\ & =\log\frac{e^{-ix}}{2}+\log\left(1+e^{2ix}\right)\\ & =-\log2-ix-Li_{1}\left(-e^{2ix}\right) \end{align*}(3)
\begin{align*} \log\tan x & =\log\sin x-\log\cos x\\ & =\frac{\pi}{2}i-Li_{1}\left(e^{2ix}\right)+Li_{1}\left(-e^{2ix}\right)+\log1 \end{align*}双曲線関数の対数
対数を多価関数とすると以下が成り立つ。
対数を多価関数とすると以下が成り立つ。
(1)
\[ \log\sinh x=-\log2+x-Li_{1}\left(e^{-2x}\right) \](2)
\[ \log\cosh x=-\log2+x-Li_{1}\left(-e^{-2x}\right) \](3)
\[ \log\tanh x=-Li_{1}\left(e^{-2x}\right)+Li_{1}\left(-e^{-2x}\right)+\log1 \](1)
\begin{align*} \log\sinh x & =\log\left(\frac{1}{i}\sin\left(ix\right)\right)\\ & =-\log i+\log\left(\sin\left(ix\right)\right)\\ & =-\frac{\pi}{2}i-\log2+\frac{\pi}{2}i+x-Li_{1}\left(e^{-2x}\right)\\ & =-\log2+x-Li_{1}\left(e^{-2x}\right) \end{align*}(2)
\begin{align*} \log\cosh x & =\log\cos\left(ix\right)\\ & =-\log2+x-Li_{1}\left(-e^{-2x}\right) \end{align*}(3)
\begin{align*} \log\tanh x & =\log\sinh x-\log\cosh x\\ & =-Li_{1}\left(e^{-2x}\right)+Li_{1}\left(-e^{-2x}\right)+\log1 \end{align*}(3)-2
\begin{align*} \log\tanh x & =\log\left(\frac{1}{i}\tan\left(ix\right)\right)\\ & =-\log i+\log\left(\tan\left(ix\right)\right)\\ & =-\frac{\pi}{2}i+\frac{\pi}{2}i-Li_{1}\left(e^{-2x}\right)+Li_{1}\left(-e^{-2x}\right)+\log1\\ & =-Li_{1}\left(e^{-2x}\right)+Li_{1}\left(-e^{-2x}\right)+\log1 \end{align*}
ページ情報
| タイトル | 三角関数と双曲線関数の対数 |
| URL | https://www.nomuramath.com/ag3vh1ei/ |
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3角関数(双曲線関数)の逆3角関数(逆双曲線関数)が恒等写像になる条件
\[
\sin^{\bullet}\sin z=?z
\]
三角関数と双曲線関数の積分
\[
\int\cos xdx=\sin x
\]
1±itan(z)など
\[
1\pm i\tan z=\frac{1}{\cos\left(2\Re z\right)+\cosh\left(2\Im z\right)}\left(e^{\pm2i\Re z}+e^{\mp2\Im z}\right)
\]
逆三角関数と逆双曲線関数の積分表示
\[
\sin^{\bullet}x=\int_{0}^{x}\frac{1}{\sqrt{1-t^{2}}}dt
\]