ベータ関数の微分
ベータ関数の微分
\[ \frac{\partial}{\partial x}B(x,y)=B(x,y)\left\{ \psi(x)-\psi(x+y)\right\} \]
\[ \frac{\partial}{\partial x}B(x,y)=B(x,y)\left\{ \psi(x)-\psi(x+y)\right\} \]
\begin{align*}
\frac{\partial}{\partial x}B(x,y) & =\frac{\partial}{\partial x}\frac{\Gamma(x)\Gamma(y)}{\Gamma(x+y)}\\
& =\frac{\Gamma(x)\psi(x)\Gamma(y)}{\Gamma(x+y)}-\frac{\Gamma(x)\Gamma(y)}{\Gamma^{2}(x+y)}\Gamma(x+y)\psi(x+y)\\
& =B(x,y)\left\{ \psi(x)-\psi(x+y)\right\}
\end{align*}
ページ情報
| タイトル | ベータ関数の微分 |
| URL | https://www.nomuramath.com/ia3q02u5/ |
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ベータ関数・不完全ベータ関数・正則ベータ関数の定義
\[
B\left(\alpha,\beta\right)=\int_{0}^{1}t^{\alpha-1}\left(1-t\right)^{\beta-1}dt
\]
ベータ関数の関数等式
\[
xB(x,y+1)=yB(x+1,y)
\]
２項係数とベータ関数の関係
\[
B(x,y)=\frac{C(y-1,-x)\pi}{\sin(\pi x)}
\]
ベータ関数と不完全ベータ関数の関係
\[
B\left(z;\alpha,\beta\right)+B\left(1-z;\beta,\alpha\right)=B\left(\alpha,\beta\right)
\]