2項係数の逆数の差分
2項係数の逆数の差分
(1)
\[ C^{-1}(k+j+1,j+1)=\frac{j+1}{j}\left(C^{-1}(k+j,j)-C^{-1}(k+j+1,j)\right) \](2)
\[ \sum_{k=0}^{n}C^{-1}(k+j+1,j+1)=\frac{j+1}{j}\left(1-\frac{j!(n+1)!}{(n+j+1)!}\right) \](1)
\begin{align*} C^{-1}(k+j+1,j+1) & =\frac{j+1}{j}\left(\frac{k+j+1}{j+1}-\frac{k+1}{j+1}\right)\frac{(j+1)!k!}{(k+j+1)!}\\ & =\frac{j+1}{j}\left(\frac{j!k!}{(k+j)!}-\frac{j!(k+1)!}{(k+k+1)!}\right)\\ & =\frac{j+1}{j}\left(C^{-1}(k+j,j)-C^{-1}(k+j+1,j)\right) \end{align*}(2)
\begin{align*} \sum_{k=0}^{n}C^{-1}(k+j+1,j+1) & =\frac{j+1}{j}\sum_{k=0}^{n}\left(C^{-1}(k+j,j)-C^{-1}(k+j+1,j)\right)\\ & =\frac{j+1}{j}\left(C^{-1}(j,j)-C^{-1}(n+j+1,j)\right)\\ & =\frac{j+1}{j}\left(1-\frac{j!(n+1)!}{(n+j+1)!}\right) \end{align*}
ページ情報
| タイトル | 2項係数の逆数の差分 |
| URL | https://www.nomuramath.com/ydpvw0qs/ |
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負の整数の2項係数
\[
C\left(-m,-n\right)=\left(-1\right)^{m-n}C\left(n-1,m-1\right)
\]
2項係数の総和その他
\[
\sum_{k=1}^{n-1}\frac{C\left(k-n,k\right)}{k}=-H_{n-1}
\]
パスカルの法則の応用
\[
C\left(x+n,y+n\right)=C\left(x,y+n\right)+\sum_{k=0}^{n-1}C\left(x+k,y+n-1\right)
\]
ディクソンの等式
\[
\sum_{k=-a}^{a}(-1)^{k}C(a+b,a+k)C(b+c,b+k)C(c+a,c+k)=\frac{(a+b+c)!}{a!b!c!}
\]