2項係数の逆数の差分
2項係数の逆数の差分
(1)
\[ C^{-1}(k+j+1,j+1)=\frac{j+1}{j}\left(C^{-1}(k+j,j)-C^{-1}(k+j+1,j)\right) \](2)
\[ \sum_{k=0}^{n}C^{-1}(k+j+1,j+1)=\frac{j+1}{j}\left(1-\frac{j!(n+1)!}{(n+j+1)!}\right) \](1)
\begin{align*} C^{-1}(k+j+1,j+1) & =\frac{j+1}{j}\left(\frac{k+j+1}{j+1}-\frac{k+1}{j+1}\right)\frac{(j+1)!k!}{(k+j+1)!}\\ & =\frac{j+1}{j}\left(\frac{j!k!}{(k+j)!}-\frac{j!(k+1)!}{(k+k+1)!}\right)\\ & =\frac{j+1}{j}\left(C^{-1}(k+j,j)-C^{-1}(k+j+1,j)\right) \end{align*}(2)
\begin{align*} \sum_{k=0}^{n}C^{-1}(k+j+1,j+1) & =\frac{j+1}{j}\sum_{k=0}^{n}\left(C^{-1}(k+j,j)-C^{-1}(k+j+1,j)\right)\\ & =\frac{j+1}{j}\left(C^{-1}(j,j)-C^{-1}(n+j+1,j)\right)\\ & =\frac{j+1}{j}\left(1-\frac{j!(n+1)!}{(n+j+1)!}\right) \end{align*}
ページ情報
| タイトル | 2項係数の逆数の差分 |
| URL | https://www.nomuramath.com/ydpvw0qs/ |
| SNSボタン |
中央2項係数を含む通常型母関数
\[
\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{k+1}C\left(2k,k\right)z^{k}=\frac{1}{2z}\left\{ 1-\left(1-4z\right)^{\frac{1}{2}}\right\}
\]
中央2項係数の通常型母関数
\[
\sum_{k=0}^{\infty}C\left(2k,k\right)z^{k}=\left(1-4z\right)^{-\frac{1}{2}}
\]
2項係数の半分までの総和
\[
\sum_{k=0}^{n-1}C\left(2n-1,k\right)=2^{2n-2}
\]
飛び飛びの2項定理
\[
\sum_{k=0}^{\infty}C\left(n,2k\right)a^{2k}b^{n-2k}=\frac{1}{2}\left\{ \left(a+b\right)^{n}+\left(-a+b\right)^{n}\right\}
\]