ディクソンの等式
ディクソンの等式
\(a,b,c\in\mathbb{N}_{0}\)とする。
\(a,b,c\in\mathbb{N}_{0}\)とする。
(1)
\[ \sum_{k=-a}^{a}(-1)^{k}C(a+b,a+k)C(b+c,b+k)C(c+a,c+k)=\frac{(a+b+c)!}{a!b!c!} \](2)
\[ \sum_{k=-a}^{a}(-1)^{k}C^{3}(2a,a+k)=\frac{(3a)!}{\left(a!\right)^{3}} \](1)
略(2)
(1)で\(a=b=c\)とおくと、\[ \sum_{k=-a}^{a}(-1)^{k}C^{3}(2a,a+k)=\frac{(3a)!}{\left(a!\right)^{3}} \] となるので与式は成り立つ。
ページ情報
| タイトル | ディクソンの等式 |
| URL | https://www.nomuramath.com/kga8k4q6/ |
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2項係数の微分
\[
\frac{d}{dx}C(x,y) =C(x,y)\left(\psi(1+x)-\psi(1+x-y)\right)
\]
2項係数の総和
\[
\sum_{k=0}^{n}P(k,m)C(n,k)=P(n,m)2^{n-m}
\]
2項変換と交代2項変換の母関数
\[
\sum_{k=0}^{\infty}b_{k}x^{k}=\frac{1}{1-x}\sum_{k=0}^{\infty}a_{k}\left(\frac{x}{1-x}\right)^{k}
\]
2項係数の特殊な積
\[
C(x,t)C(t,y)=C(x,y)C(x-y,x-t)
\]