ガンマ関数の微分
ガンマ関数の微分は以下の通りになる。
\[ \frac{d}{dz}\Gamma(z)=\Gamma(z)\psi(z) \] ここで\(\psi(z)\)はディガンマ関数である。
\[ \frac{d}{dz}\Gamma(z)=\Gamma(z)\psi(z) \] ここで\(\psi(z)\)はディガンマ関数である。
\begin{align*}
\frac{d}{dz}\Gamma(z) & =\Gamma(z)\frac{d}{dz}\log\left(\Gamma(z)\right)\\
& =\Gamma(z)\psi(z)
\end{align*}
ページ情報
| タイトル | ガンマ関数の微分 |
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ガンマ関数のルジャンドル倍数公式
\[
\Gamma(2z)=\frac{2^{2z-1}}{\sqrt{\pi}}\Gamma(z)\Gamma\left(z+\frac{1}{2}\right)
\]
ガンマ関数の1/2値
\[
\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)=\sqrt{\pi}
\]
負の整数の階乗の商
\[
\frac{\left(-m\right)!}{\left(-n\right)!}=\left(-1\right)^{n-m}\frac{\Gamma\left(n\right)}{\Gamma\left(m\right)}
\]
ガンマ関数の無限乗積
\[
\Gamma(x)=\lim_{n\rightarrow\infty}n^{x}n!Q^{-1}(x,n+1)
\]