ゼータ関数とイータ関数とガンマ関数
ゼータ関数とイータ関数とガンマ関数
(1)ゼータ関数ととガンマ関数
\[ \zeta(s)=\frac{1}{\Gamma(s)}\int_{0}^{\infty}\frac{x^{s-1}}{e^{x}-1}dx \](2)イータ関数とガンマ関数
\[ \eta(s)=\frac{1}{\Gamma(s)}\int_{0}^{\infty}\frac{x^{s-1}}{e^{x}+1}dx \](*)
\begin{align*} \sum_{k=1}^{\infty}\frac{\left(\pm1\right)^{k+1}}{k^{s}} & =\frac{1}{\Gamma\left(s\right)}\sum_{k=1}^{\infty}\left(\pm1\right)^{k+1}\frac{\Gamma\left(s\right)}{k^{s}}\\ & =\frac{1}{\Gamma\left(s\right)}\sum_{k=1}^{\infty}\left(\pm1\right)^{k+1}\mathcal{L}_{t}\left[H\left(t\right)t^{s-1}\right]\left(k\right)\\ & =\frac{1}{\Gamma\left(s\right)}\sum_{k=1}^{\infty}\left(\pm1\right)^{k+1}\int_{-\infty}^{\infty}H\left(t\right)t^{s-1}e^{-kt}dt\\ & =\frac{1}{\Gamma\left(s\right)}\int_{0}^{\infty}t^{s-1}\sum_{k=1}^{\infty}\left(\pm1\right)^{k+1}e^{-kt}dt\\ & =\frac{\pm1}{\Gamma\left(s\right)}\int_{0}^{\infty}t^{s-1}\sum_{k=1}^{\infty}\left(\pm e^{-t}\right)^{k}dt\\ & =\frac{\pm1}{\Gamma\left(s\right)}\int_{0}^{\infty}t^{s-1}\frac{\pm e^{-t}}{1\mp e^{-t}}dt\\ & =\frac{1}{\Gamma\left(s\right)}\int_{0}^{\infty}t^{s-1}\frac{1}{e^{t}\mp1}dt \end{align*} これより、(1)
\begin{align*} \zeta\left(s\right) & =\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^{s}}\\ & =\frac{1}{\Gamma\left(s\right)}\int_{0}^{\infty}t^{s-1}\frac{1}{e^{t}-1}dt \end{align*}(2)
\begin{align*} \eta\left(s\right) & =\sum_{k=1}^{\infty}\frac{\left(-1\right)^{k+1}}{k^{s}}\\ & =\frac{1}{\Gamma\left(s\right)}\int_{0}^{\infty}t^{s-1}\frac{1}{e^{t}+1}dt \end{align*}
ページ情報
| タイトル | ゼータ関数とイータ関数とガンマ関数 |
| URL | https://www.nomuramath.com/krhslkcm/ |
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リーマン・ゼータ関数(フルヴィッツ・ゼータ関数)のローラン展開時のスティルチェス定数(一般化スティルチェス定数)
\[
\gamma_{k}=\lim_{n\rightarrow\infty}\left(\left(\sum_{j=1}^{n}\frac{\log^{k}j}{j}\right)-\frac{\log^{k+1}n}{k+1}\right)
\]
リーマン・ゼータ関数の解析接続による非負整数値
\[
\zeta\left(-n\right)=\left(-1\right)^{n}\frac{B_{n+1}}{n+1}
\]
リーマン・ゼータ関数とフルヴィッツ・ゼータ関数の関係
\[
\zeta\left(s,1\right)=\zeta\left(s\right)
\]
リーマン・ゼータ関数とディリクレ・イータ関数の導関数の特殊値
\[
\zeta'\left(0\right)=-\Log\sqrt{2\pi}
\]