(1)

\begin{align*} x+C\in\left(A\cup B\right)/C & \Leftrightarrow x+C\in\left\{ y+C;y\in A\cup B\right\} \\ & \Leftrightarrow\exists y\in A\cup B,x+C=y+C\\ & \Leftrightarrow\exists y\in G,y\in A\cup B\land x+C=y+C\\ & \Leftrightarrow\exists y\in G,\left(y\in A\lor y\in B\right)\land x+C=y+C\\ & \Leftrightarrow\exists y\in G,\left(y\in A\land x+C=y+C\right)\lor\left(y\in B\land x+C=y+C\right)\\ & \Leftrightarrow\left(\exists y\in G,y\in A\land x+C=y+C\right)\lor\left(\exists y\in G,y\in B\land x+C=y+C\right)\cmt{\because\exists x\left(P\left(x\right)\lor Q\left(x\right)\right)\Leftrightarrow\exists xP\left(x\right)\lor\exists xQ\left(x\right)}\\ & \Leftrightarrow\left(\exists y\in A\land x+C=y+C\right)\lor\left(\exists y\in B\land x+C=y+C\right)\\ & \Leftrightarrow\left(x+C\in\left\{ y+C;y\in A\right\} \right)\lor\left(x+C\in\left\{ y+C;y\in B\right\} \right)\\ & \Leftrightarrow x+C\in A/C\lor x+C\in B/C\\ & \Leftrightarrow x+C\in\left(A/C\right)\cup\left(B/C\right) \end{align*} となるので、\(\left(A\cup B\right)/C=\left(A/C\right)\cup\left(B/C\right)\)となる。

(1)-2

\(\left(A/C\right)\cup\left(B/C\right)\subseteq\left(A\cup B\right)/C\)であることは次のようにすれば示せます。
\begin{align*} \left(A/C\right)\cup\left(B/C\right) & \subseteq\left(\left(A\cup B\right)/C\right)\cup\left(\left(A\cup B\right)/C\right)\\ & =\left(A\cup B\right)/C \end{align*} となるので、\(\left(A/N\right)\cup\left(B/N\right)\subseteq\left(A\cup B\right)/N\)となる。

(1)-3

\(C\)が部分空間\(W=C\)のときは次のようにして証明ができます。
\begin{align*} v+W\in\left(A\cup B\right)/W & \Leftrightarrow\left(v+W\right)\cap\left(A\cup B\right)\ne\emptyset\\ & \Leftrightarrow\left(\left(v+W\right)\cap A\right)\cup\left(\left(v+W\right)\cap B\right)\ne\emptyset\\ & \Leftrightarrow\left(v+W\right)\cap A\ne\emptyset\lor\left(v+W\right)\cap B\ne\emptyset\\ & \Leftrightarrow\left(v+W\in A/W\right)\lor\left(v+W\in B/W\right)\\ & \Leftrightarrow v+W\in\left(A/W\right)\cup\left(B/W\right) \end{align*} となるので、\(\left(A\cup B\right)/W=\left(A/W\right)\cup\left(B/W\right)\)が成り立つ。

(2)

\(\subseteq\)

\begin{align*} \left(A\cap B\right)/C & =\left(\left(A\cap B\right)/C\right)\cap\left(\left(A\cap B\right)/C\right)\\ & \subseteq\left(A/C\right)\cap\left(B/C\right) \end{align*} となるので\(\left(A\cap B\right)/C\subseteq\left(A/C\right)\cap\left(B/C\right)\)が成り立つ。

逆は一般的に成り立たない。

反例で示す。
体を\(K=\mathbb{R}\)、ベクトル空間を\(V=\mathbb{R}\)として、部分空間を\(W=\mathbb{R}\)、集合を\(A=\left\{ 0\right\} ,B=\left\{ 1\right\} ,C=W=\mathbb{R}\)とする。
このとき、
\begin{align*} \left(A\cap B\right)/C & =\left(\left\{ 0\right\} \cap\left\{ 1\right\} \right)/\mathbb{R}\\ & =\emptyset/\mathbb{R}\\ & =\left\{ \boldsymbol{v}+\mathbb{R};\boldsymbol{v}\in\emptyset\right\} \\ & =\emptyset \end{align*} \begin{align*} \left(A/C\right)\cap\left(B/C\right) & =\left(\left\{ 0\right\} /\mathbb{R}\right)\cap\left(\left\{ 1\right\} /\mathbb{R}\right)\\ & =\left\{ 0+\mathbb{R}\right\} \cap\left\{ 1+\mathbb{R}\right\} \\ & =\left\{ \mathbb{R}\right\} \cap\left\{ \mathbb{R}\right\} \\ & =\left\{ \mathbb{R}\right\} \end{align*} となるので、
\begin{align*} \left(A\cap B\right)/C & =\emptyset\\ & \subsetneq\left\{ \mathbb{R}\right\} \\ & =\left(A/C\right)\cap\left(B/C\right) \end{align*} となる。
従って、逆は一般的に成り立たない。

反例2

体を\(K=\mathbb{R}\)、ベクトル空間を\(V=\mathbb{R}^{2}\)として、部分空間を\(W=\left\{ \left(x,0\right);x\in\mathbb{R}\right\} \)、集合を\(A=\left\{ \left(0,0\right)\right\} ,B=\left\{ \left(1,0\right)\right\} ,C=W\)とする。
このとき、
\begin{align*} \left(A\cap B\right)/C & =\left(\left\{ \left(0,0\right)\right\} \cap\left\{ \left(1,0\right)\right\} \right)/W\\ & =\emptyset/W\\ & =\left\{ \boldsymbol{v}+W;\boldsymbol{v}\in\emptyset\right\} \\ & =\emptyset \end{align*} \begin{align*} \left(A/C\right)\cap\left(B/C\right) & =\left(\left\{ \left(0,0\right)\right\} /W\right)\cap\left(\left\{ \left(1,0\right)\right\} /W\right)\\ & =\left\{ \left(0,0\right)+W\right\} \cap\left\{ \left(1,0\right)+W\right\} \\ & =\left\{ W\right\} \cap\left\{ W\right\} \\ & =\left\{ W\right\} \end{align*} となるので、
\begin{align*} \left(A\cap B\right)/C & =\emptyset\\ & \subsetneq\left\{ W\right\} \\ & =\left(A/C\right)\cap\left(B/C\right) \end{align*} となる。
従って、逆は一般的に成り立たない。

等号成立

\(C\)を部分空間\(W=C\)とする。
\(\left(A\cap B\right)/W\subseteq\left(A/W\right)\cap\left(B/W\right)\)は常に成り立つので等号が成立するには\(\left(A/W\right)\cap\left(B/W\right)\subseteq\left(A\cap B\right)/W\)が成り立てばよい。
これより、任意の\(x+W\in V/W\)について、\(x+W\in\left(A/W\right)\cap\left(B/W\right)\)ならば\(x+W\in\left(A\cap B\right)/W\)が成り立てばよい。
ここで、
\begin{align*} x+W\in\left(A/W\right)\cap\left(B/W\right) & \Leftrightarrow x+W\in A/W\land x+W\in B/W\\ & \Leftrightarrow\left(\left(x+W\right)\cap A\ne\emptyset\right)\land\left(\left(x+W\right)\cap B\ne\emptyset\right) \end{align*} \[ x+W\in\left(A\cap B\right)/W\Leftrightarrow\left(x+W\right)\cap\left(A\cap B\right)\ne\emptyset \] であるので、等号が成立するには任意の\(x+W\in G/W\)について、\(\left(x+W\right)\cap A\ne\emptyset\)かつ\(\left(x+W\right)\cap B\ne\emptyset\)ならば、\(\left(x+W\right)\cap\left(A\cap B\right)\ne\emptyset\)となるときに限る。

(2)-2

\(\subseteq\)のみ示す。
\begin{align*} v+C\in\left(A\cap B\right)/C & \Leftrightarrow v+C\in\left\{ v'+C;v'\in A\cap B\right\} \\ & \Leftrightarrow\exists v'\in A\cap B,v+C=v'+C\\ & \Leftrightarrow\exists v'\in V,\left(v'\in A\cap B\right)\land\left(v+C=v'+C\right)\\ & \Leftrightarrow\exists v'\in V,v'\in A\land v'\in B\land v+C=v'+C\\ & \Leftrightarrow\exists v'\in V,\left(v'\in A\land v+C=v'+C\right)\land\left(v'\in B\land v+C=v'+C\right)\\ & \Rightarrow\left(\exists v'\in V,v'\in A\land v+C=v'+C\right)\land\left(\exists v'\in V,v'\in B\land v+C=v'+C\right)\cmt{\because\exists x\left(P\left(x\right)\land Q\left(x\right)\right)\Rightarrow\exists xP\left(x\right)\land\exists xQ\left(x\right)}\\ & \Leftrightarrow\left(\exists v'\in A\land v+C=v'+C\right)\land\left(\exists v'\in B\land v+C=v'+C\right)\\ & \Leftrightarrow v+C\in A/C\land v+C\in B/C\\ & \Leftrightarrow v+C\in\left(A/C\right)\cap\left(B/C\right) \end{align*} となるので、\(\left(A\cap B\right)/C\subseteq\left(A/C\right)\cap\left(B/C\right)\)となる。

(2)-3

\(C\)を部分空間\(W=C\)として\(\subseteq\)を示す。
\begin{align*} v+W\in\left(A\cap B\right)/W & \Leftrightarrow v+W\cap\left(A\cap B\right)\ne\emptyset\\ & \Leftrightarrow\left(\left(v+W\right)\cap A\right)\cap\left(\left(v+W\right)\cap B\right)\ne\emptyset\\ & \Rightarrow\left(\left(v+W\right)\cap A\ne\emptyset\right)\land\left(\left(v+W\right)\cap B\ne\emptyset\right)\\ & \Leftrightarrow v+W\in A/W\land v+W\in B/W\\ & \Leftrightarrow v+W\in\left(A/W\right)\cap\left(B/W\right) \end{align*} となるので、\(\left(A\cap B\right)/W\subseteq\left(A/W\right)\cap\left(B/W\right)\)となる。

(3)

\begin{align*} x+C\in\left(A/C\right)\setminus\left(B/C\right) & \Leftrightarrow x+C\in A/C\land x+C\notin B/C\\ & \Leftrightarrow x+C\in\left\{ a+C;a\in A\right\} \land x+C\notin\left\{ b+C;b\in B\right\} \\ & \Leftrightarrow\left(\exists y\in A,x+C=y+C\right)\land\left(\forall z\in B,x+C\ne z+C\right)\\ & \Leftrightarrow\exists y\in A,x+C=y+C\land\left(\forall z\in B,x+C\ne z+C\right)\cmt{\because\exists x\in X,P\left(x\right)\land Q\Leftrightarrow\left(\exists x\in X,P\left(x\right)\right)\land Q}\\ & \Leftrightarrow\exists y\in A,x+C=y+C\land\left(\forall z\in B,y+C\ne z+C\right)\\ & \Rightarrow\exists y\in A,x+C=y+C\land\left(\forall z\in B,y\ne z\right)\cmt{\because x=y\Rightarrow x+C=y+C}\\ & \Leftrightarrow\exists y\in A,x+C=y+C\land y\notin B\\ & \Leftrightarrow\exists y\in A\setminus B,x+C=y+C\\ & \Leftrightarrow x+C\in\left\{ y+C;y\in A\setminus B\right\} \\ & \Leftrightarrow x+C\in\left(A\setminus B\right)/C \end{align*} となるので、\(\left(A/C\right)\setminus\left(B/C\right)\subseteq\left(A\setminus B\right)/C\)となる。

逆は一般的に成り立たない

反例で示す。
体を\(K=\mathbb{R}\)、ベクトル空間を\(V=\mathbb{R}\)として、部分空間を\(W=\mathbb{R}\)、集合を\(A=\left\{ 0\right\} ,B=\left\{ 1\right\} ,C=W=\mathbb{R}\)とする。
このとき、
\begin{align*} \left(A/C\right)\setminus\left(B/C\right) & =\left(\left\{ 0\right\} /\mathbb{R}\right)\setminus\left(\left\{ 1\right\} /\mathbb{R}\right)\\ & =\left\{ \mathbb{R}\right\} \setminus\left\{ \mathbb{R}\right\} \\ & =\emptyset \end{align*} \begin{align*} \left(A\setminus B\right)/C & =\left(\left\{ 0\right\} \setminus\left\{ 1\right\} \right)/\mathbb{R}\\ & =\left\{ 0\right\} /\mathbb{R}\\ & =\left\{ \mathbb{R}\right\} \end{align*} となるので、
\begin{align*} \left(A/C\right)\setminus\left(B/C\right) & =\emptyset\\ & \subseteq\left\{ \mathbb{R}\right\} \\ & =\left(A\setminus B\right)/C \end{align*} となる。
従って逆は一般的に成り立たない。

等号成立

\(C\)を部分空間\(W=C\)とする。
\(\left(A\setminus B\right)/W\supseteq\left(A/W\right)\setminus\left(B/W\right)\)は常に成り立つので等号が成り立つには\(\left(A\setminus B\right)/W\subseteq\left(A/W\right)\setminus\left(B/W\right)\)が成り立てばよい。
これは、\(v+W\in\left(A\setminus B\right)/W\)ならば\(v+W\in\left(A/W\right)\setminus\left(B/W\right)\)と同値である。
また、
\[ v+W\in\left(A\setminus B\right)/W\Leftrightarrow\left(v+W\right)\cap\left(A\setminus B\right)\ne\emptyset \] であり、
\begin{align*} v+W\in\left(A/W\right)\setminus\left(B/W\right) & \Leftrightarrow v+W\in\left(A/W\right)\cap\left(B/W\right)^{c}\\ & \Leftrightarrow v+W\in A/W\land v+W\notin B/W\\ & \Leftrightarrow\left(v+W\right)\cap A\ne\emptyset\land\left(v+W\right)\cap B=\emptyset \end{align*} となるので、\(\left(v+W\right)\cap\left(A\setminus B\right)\ne\emptyset\)ならば\(\left(v+W\right)\cap A\ne\emptyset\land\left(v+W\right)\cap B=\emptyset\)となればよい。
ここで、\(\left(v+W\right)\cap\left(A\setminus B\right)\ne\emptyset\)であるとき、\(\left(v+W\right)\cap A\supseteq\left(v+W\right)\cap\left(A\setminus B\right)\ne\emptyset\)なので\(\left(v+W\right)\cap A\ne\emptyset\)が成り立つ。
従って、等号成立条件は\(\left(v+W\right)\cap\left(A\setminus B\right)\ne\emptyset\)ならば\(\left(v+W\right)\cap B=\emptyset\)となればよい。

(3)-2

\(C\)を部分空間\(W=C\)として\(\subseteq\)を示す。
\begin{align*} v+W\in\left(A/W\right)\setminus\left(B/W\right) & \Leftrightarrow v+W\in\left(A/W\right)\land v+W\notin\left(B/W\right)\\ & \Leftrightarrow\left(v+W\right)\cap A\ne\emptyset\land\left(v+W\right)\cap B=\emptyset\\ & \Leftrightarrow\left(v+W\right)\cap A\ne\emptyset\land\left(v+W\right)\subseteq B^{c}\\ & \Rightarrow\left(v+W\right)\cap A\ne\emptyset\land\left(v+W\right)\cap A\subseteq B^{c}\\ & \Rightarrow\left(v+W\right)\cap A\ne\emptyset\land\left(v+W\right)\cap A\nsubseteq B\cmt{\because\left(v+W\right)\cap A\ne\emptyset}\\ & \Leftrightarrow\left(v+W\right)\cap A\ne\emptyset\land\left(v+W\right)\cap A\cap B^{c}\ne\emptyset\\ & \Rightarrow\left(v+W\right)\cap A\cap B^{c}\ne\emptyset\\ & \Leftrightarrow\left(v+W\right)\cap\left(A\setminus B\right)\ne\emptyset\\ & \Leftrightarrow\left(v+W\right)\in\left(A\setminus B\right)/W \end{align*} となるので、\(\left(A/W\right)\setminus\left(B/W\right)\subseteq\left(A\setminus B\right)/W\)となる。

(4)

\begin{align*} \left(A\triangle B\right)/C & =\left(\left(A\setminus B\right)\cup\left(B\setminus A\right)\right)/C\\ & =\left(\left(A\setminus B\right)/C\right)\cup\left(\left(B\setminus A\right)/C\right)\cmt{\because\left(A\cup B\right)/C=\left(A/C\right)\cup\left(B/C\right)}\\ & \supseteq\left(\left(A/C\right)\setminus\left(B/C\right)\right)\cup\left(\left(B/C\right)\setminus\left(A/C\right)\right)\cmt{\because\left(A\setminus B\right)/C\supseteq\left(A/C\right)\setminus\left(B/C\right)}\\ & =\left(A/C\right)\triangle\left(B/C\right) \end{align*} となるので題意は成り立つ。

逆は一般的に成り立たない

反例で示す。
体を\(K=\mathbb{R}\)、ベクトル空間を\(V=\mathbb{R}\)として、部分空間を\(W=\mathbb{R}\)、集合を\(A=\left\{ 0\right\} ,B=\left\{ 1\right\} ,C=W=\mathbb{R}\)とする。
このとき、
\begin{align*} \left(A\triangle B\right)/C & =\left(\left\{ 0\right\} \triangle\left\{ 1\right\} \right)/\mathbb{R}\\ & =\left\{ 0,1\right\} /\mathbb{R}\\ & =\left\{ \mathbb{R}\right\} \end{align*} \begin{align*} \left(A/C\right)\triangle\left(B/C\right) & =\left(\left\{ 0\right\} /\mathbb{R}\right)\triangle\left(\left\{ 1\right\} /\mathbb{R}\right)\\ & =\left\{ \mathbb{R}\right\} \triangle\left\{ \mathbb{R}\right\} \\ & =\emptyset \end{align*} となるので、
\begin{align*} \left(A/C\right)\triangle\left(B/C\right) & =\emptyset\\ & \subsetneq\left\{ \mathbb{R}\right\} \\ & =\left(A\triangle B\right)/C \end{align*} となる。
従って、逆は一般的に成り立たない。

等号成立

\(C\)を部分空間\(W=C\)とする。
\(\left(A\triangle B\right)/W\supseteq\left(A/W\right)\triangle\left(B/W\right)\)は常に成り立つので等号成立は\(\left(A\triangle B\right)/W\subseteq\left(A/W\right)\triangle\left(B/W\right)\)が成り立てばよい。
これは\(v+W\in\left(A\triangle B\right)/W\)ならば、\(v+W\in\left(A/W\right)\triangle\left(B/W\right)\)であることと同値である。
また、
\[ v+W\in\left(A\triangle B\right)/W\Leftrightarrow\left(v+W\right)\cap\left(A\triangle B\right)\ne\emptyset \] \begin{align*} v+W\in\left(A/W\right)\triangle\left(B/W\right) & \Leftrightarrow v+W\in\left(\left(A/W\right)\cap\left(B/W\right)^{c}\right)\cup\left(\left(B/W\right)\cap\left(A/W\right)^{c}\right)\\ & \Leftrightarrow\left(v+W\in\left(A/W\right)\cap\left(B/W\right)^{c}\right)\lor\left(v+W\in\left(B/W\right)\cap\left(A/W\right)^{c}\right)\\ & \Leftrightarrow\left(v+W\in\left(A/W\right)\setminus\left(B/W\right)\right)\lor\left(v+W\in\left(B/W\right)\setminus\left(A/W\right)\right)\\ & \Leftrightarrow\left(v+W\in\left(A/W\right)\land v+W\notin\left(B/W\right)\right)\lor\left(v+W\in\left(B/W\right)\land v+W\notin\left(A/W\right)\right)\\ & \Leftrightarrow\left(\left(v+W\right)\cap A\ne\emptyset\land\left(v+W\right)\cap B=\emptyset\right)\lor\left(\left(v+W\right)\cap B\ne\emptyset\land\left(v+W\right)\cap A=\emptyset\right) \end{align*} であるので、\(\left(v+W\right)\cap\left(A\triangle B\right)\ne\emptyset\)ならば、\(\left(\left(v+W\right)\cap A\ne\emptyset\land\left(v+W\right)\cap B=\emptyset\right)\lor\left(\left(v+W\right)\cap B\ne\emptyset\land\left(v+W\right)\cap A=\emptyset\right)\)となればよい。
従って、等号成立は\(\left(v+W\right)\cap\left(A\triangle B\right)\ne\emptyset\)ならば、\(\left(\left(v+W\right)\cap A\ne\emptyset\land\left(v+W\right)\cap B=\emptyset\right)\lor\left(\left(v+W\right)\cap B\ne\emptyset\land\left(v+W\right)\cap A=\emptyset\right)\)となるときに限る。

(4)-2

\begin{align*} \left(A\triangle B\right)/C & =\left(\left(A\cup B\right)\setminus\left(A\cap B\right)\right)/C\\ & \supseteq\left(\left(A\cup B\right)/C\right)\setminus\left(\left(A\cap B\right)/C\right)\cmt{\because\left(A\setminus B\right)/C\supseteq\left(A/C\right)\setminus\left(B/C\right)}\\ & =\left(\left(A/C\right)\cup\left(B/C\right)\right)\setminus\left(\left(A\cap B\right)/C\right)\cmt{\because\left(A\cup B\right)/C=\left(A/C\right)\cup\left(B/C\right)}\\ & \supseteq\left(\left(A/C\right)\cup\left(B/C\right)\right)\setminus\left(\left(A/C\right)\cap\left(B/C\right)\right)\cmt{\because\left(A\cap B\right)/C\subseteq\left(A/C\right)\cap\left(B/C\right)}\\ & =\left(A/C\right)\triangle\left(B/C\right) \end{align*} となるので題意は成り立つ。