(1)

\(U\)を全体集合とする。
\begin{align*} \forall x\in A\cup B,P\left(x\right) & \Leftrightarrow\forall x\in U,x\in A\cup B\rightarrow P\left(x\right)\\ & \Leftrightarrow\forall x\in U,\left(x\in A\lor x\in B\right)\rightarrow P\left(x\right)\\ & \Leftrightarrow\forall x\in U,\lnot\left(x\in A\lor x\in B\right)\lor P\left(x\right)\\ & \Leftrightarrow\forall x\in U,\left(x\notin A\land x\notin B\right)\lor P\left(x\right)\\ & \Leftrightarrow\forall x\in U,\left(x\notin A\lor P\left(x\right)\right)\land\left(x\notin B\lor P\left(x\right)\right)\\ & \Leftrightarrow\forall x\in U,\left(x\in A\rightarrow P\left(x\right)\right)\land\left(x\in B\rightarrow P\left(x\right)\right)\\ & \Leftrightarrow\left(x\in A\rightarrow P\left(x\right)\right)\land\left(x\in B\rightarrow P\left(x\right)\right)\\ & \Leftrightarrow\left(\forall x\in A,P\left(x\right)\right)\land\left(\forall x\in B,P\left(x\right)\right) \end{align*}

(2)

\[ \forall x\in A\cup B,P\left(x\right)\Leftrightarrow\left(\forall x\in A,P\left(x\right)\right)\land\left(\forall x\in B,P\left(x\right)\right) \] の対偶をとると、
\[ \exists x\in A\cup B,\lnot P\left(x\right)\Leftrightarrow\left(\exists x\in A,\lnot P\left(x\right)\right)\lor\left(\exists x\in B,\lnot P\left(x\right)\right) \] となるので、\(\lnot P\left(x\right)\rightarrow P\left(x\right)\)と置き替えると、
\[ \exists x\in A\cup B,P\left(x\right)\Leftrightarrow\left(\exists x\in A,P\left(x\right)\right)\lor\left(\exists x\in B,P\left(x\right)\right) \] となる。
従って題意は成り立つ。

(3)

\(\Rightarrow\)

\begin{align*} \forall x\in X,P\left(x\right) & \Leftrightarrow\forall x\in\left(X\setminus A\right)\cup\left(X\cap A\right),P\left(x\right)\\ & \Leftrightarrow\left(\forall x\in X\setminus A,P\left(x\right)\right)\land\left(\forall x\in X\cap A,P\left(x\right)\right)\\ & \Rightarrow\forall x\in X\setminus A,P\left(x\right) \end{align*}

逆は一般的に成り立たない

反例で示す。
\(X\ne\emptyset,A=X,P\left(x\right)=\bot\)とすると、
\begin{align*} \forall x\in X\setminus A,P\left(x\right) & \Leftrightarrow\forall x\in X\setminus X,\bot\\ & \Leftrightarrow\forall x\in\emptyset,\bot\\ & \Leftrightarrow\top \end{align*} \begin{align*} \forall x\in X,P\left(x\right) & \Leftrightarrow\forall x\in X,\bot\\ & \Leftrightarrow\bot\cmt{\because X\ne\emptyset} \end{align*} となるので、\(\forall x\in X\setminus A,P\left(x\right)\Leftrightarrow\top\nRightarrow\bot\Leftrightarrow\forall x\in X,P\left(x\right)\)となる。
従って、逆は一般的に成り立たない。

(4)

\(\Leftarrow\)

\[ \forall x\in X,P\left(x\right)\Rightarrow\forall x\in X\setminus A,P\left(x\right) \] の対偶をとると、
\[ \exists x\in X\setminus A,\lnot P\left(x\right)\Rightarrow\exists x\in X,\lnot P\left(x\right) \] となるので、\(P\left(x\right)\rightarrow\lnot P\left(x\right)\)と置き替えると、
\[ \exists x\in X\setminus A,P\left(x\right)\Rightarrow\exists x\in X,P\left(x\right) \] となる。
従って\(\Leftarrow\)が成り立つ。

逆は一般的に成り立たない

\[ \exists x\in X,P\left(x\right)\nRightarrow\exists x\in X\setminus A,P\left(x\right) \] の対偶をとると、
\[ \forall x\in X\setminus A,\lnot P\left(x\right)\nRightarrow\forall x\in X,\lnot P\left(x\right) \] となるので、\(P\left(x\right)\rightarrow\lnot P\left(x\right)\)と置き替えると、
\[ \forall x\in X\setminus A,P\left(x\right)\nRightarrow\forall x\in X,P\left(x\right) \] となる。
従って、逆は一般的に成り立たない

(4)-2

\(\Leftarrow\)

\begin{align*} \exists x\in X\setminus A,P\left(x\right) & \Rightarrow\left(\exists x\in X\setminus A,P\left(x\right)\right)\lor\left(\exists x\in X\cap A,P\left(x\right)\right)\\ & \Leftrightarrow\exists x\in X,P\left(x\right) \end{align*}

逆は一般的に成り立たない

反例で示す。
\(X\ne\emptyset,A=X,P\left(x\right)=\top\)とすると、
\begin{align*} \exists x\in X,P\left(x\right) & \Leftrightarrow\exists x\in X,\top\\ & \Leftrightarrow\top\cmt{\because X\ne\emptyset} \end{align*} \begin{align*} \exists x\in X\setminus A,P\left(x\right) & \Leftrightarrow\exists x\in X\setminus X,\top\\ & \Leftrightarrow\exists x\in\emptyset,\top\\ & \Leftrightarrow\bot \end{align*} となるので、\(\forall\exists x\in X,P\left(x\right)\Leftrightarrow\top\nRightarrow\bot\Leftrightarrow\exists x\in X\setminus A,P\left(x\right)\)となる。
従って、逆は一般的に成り立たない。