(1)

\(0<\Re\left(z\right)\)のとき、
\begin{align*} \int_{0}^{1}x^{z-1}dx & =\left[\frac{x^{z}}{z}\right]_{0}^{1}\\ & =\frac{1^{z}}{z}-\frac{0^{z}}{z}\\ & =\frac{1}{z}-\frac{0}{z}\cmt{\because0<\Re\left(z\right)\rightarrow0^{z}=0}\\ & =\frac{1}{z} \end{align*} なので、
\begin{align*} \psi\left(z\right) & =-\gamma+\sum_{k=0}^{\infty}\left(\frac{1}{k+1}-\frac{1}{k+z}\right)\\ & =-\gamma+\sum_{k=0}^{\infty}\left(\int_{0}^{1}x^{\left(k+1\right)-1}dx-\int_{0}^{1}x^{\left(k+z\right)-1}dx\right)\\ & =-\gamma+\sum_{k=0}^{\infty}\left(\int_{0}^{1}x^{k}dx-\int_{0}^{1}x^{k+z-1}dx\right)\\ & =-\gamma+\sum_{k=0}^{\infty}\int_{0}^{1}\left(1+x^{z-1}\right)x^{k}dx\\ & =-\gamma+\int_{0}^{1}\left(1+x^{z-1}\right)\sum_{k=0}^{\infty}x^{k}dx\\ & =-\gamma+\int_{0}^{1}\left(1+x^{z-1}\right)\frac{1}{1-x}dx\cmt{\because0\leq x<1}\\ & =-\gamma+\int_{0}^{1}\frac{1+x^{z-1}}{1-x}dx \end{align*} となる。
従って与式は成り立つ。

(2)

\(0<\Re\left(z\right)\)のとき、
\[ \psi\left(z\right)=-\gamma+\int_{0}^{1}\frac{1+x^{z-1}}{1-x}dx \] であり、
\begin{align*} \Re\left(\frac{1}{z}\right) & =\Re\left(\frac{1}{\Re\left(z\right)+i\Im\left(z\right)}\right)\\ & =\Re\left(\frac{\Re\left(z\right)-i\Im\left(z\right)}{\left(\Re\left(z\right)+i\Im\left(z\right)\right)\left(\Re\left(z\right)-i\Im\left(z\right)\right)}\right)\\ & =\Re\left(\frac{\Re\left(z\right)-i\Im\left(z\right)}{\Re^{2}\left(z\right)+\Im^{2}\left(z\right)}\right)\\ & =\frac{\Re\left(z\right)}{\Re^{2}\left(z\right)+\Im^{2}\left(z\right)}\\ & >0\cmt{\because0<\Re\left(z\right)} \end{align*} となるので、\(\psi\left(z\right)=-\gamma+\int_{0}^{1}\frac{1+x^{z-1}}{1-x}dx\)で\(z\rightarrow\frac{1}{z}\)とすることができ、
\begin{align*} \psi\left(\frac{1}{z}\right) & =-\gamma+\int_{0}^{1}\frac{1+x^{\frac{1}{z}-1}}{1-x}dx\\ & =-\gamma+\int_{0}^{1}\frac{1+t\cdot t^{-z}}{1-t^{z}}zt^{z-1}dt\cmt{x^{\frac{1}{n}}=t,dx=nt^{n-1}dt}\\ & =-\gamma+z\int_{0}^{1}\frac{1+t^{-z+1}}{1-t^{z}}t^{z-1}dt\\ & =-\gamma+z\int_{0}^{1}\frac{t^{z-1}+1}{1-t^{z}}dt\\ & =-\gamma-z\int_{0}^{1}\frac{t^{z-1}-1}{t^{z}-1}dt \end{align*} となるので与式は成り立つ。