(1)

\(V\)の基底が有限個であるとき、\(V\)は有限次元となり、基底が無限個であるとき、\(V\)は無限次元になります。
これを示す。
\(V\)の基底が有限個であるとき、ある自然数\(n\in\mathbb{N}\)が存在し、基底は\(e_{1},e_{2},\cdots,e_{n}\)と表すことができるが、\(n+1\)個の1次独立な元が存在しないので有限次元となる。
また、基底が無限個であるとき、基底は\(e_{1},e_{2},\cdots\)と表すことができ、任意の自然数\(n\in\mathbb{N}\)について、\(e_{1},e_{2},\cdots,e_{n}\)は1次独立であるので\(V\)は無限次元になる。
従って題意は成り立つ。