(1)

\(\Rightarrow\)

\(A\)が鋭角であるとき、\(A<90^{\circ}\)より\(0<\cos A\)となり余弦定理より、\(a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cos A<b^{2}+c^{2}\)となる。
\(A\)が直角であるとき、\(A=90^{\circ}\)より\(0=\cos A\)となり3平方の定理より、\(a^{2}=b^{2}+c^{2}\)となる。
\(A\)が鈍角であるとき、\(90^{\circ}<A\)より\(\cos A<0\)となり余弦定理より、\(a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cos A>b^{2}+c^{2}\)となる。
これらより、\(\Rightarrow\)が成り立つ。

\(\Leftarrow\)

\(A\)が鋭角または\(A\)が直角または\(A\)が鈍角は真になり、\(a^{2}<b^{2}+c^{2},a^{2}=b^{2}+c^{2},a^{2}>b^{2}+c^{2}\)のうち2つ以上が真になることはないので、転換法より\(\Leftarrow\)が成り立つ。

\(\Leftrightarrow\)

これらより\(\Rightarrow\)と\(\Leftarrow\)が成り立つので\(\Leftrightarrow\)が成り立つ。